Généralités sur la programmation linéaire
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Prenons en effet un point M à l'intérieur du polygone et traçons une droite quelconque
passant par M. Cette droite coupe les côtés du polygone en deux points, ici M 1 et M 2 . On
peut écrire (synthétiquement) :
2
1
)
(1
=
M
M
M
1
0
M 1 lui-même peut s'écrire :
A
M
)
(1
0
=
1
1
1
1
<
<
0
1
C
B
M
)
(1
=
2
2
2
1
<
<
0
2
d'où
C
B
A
M
)
)(1
(1
)
(1
)
(1
0
=
2
2
1
1
Dans cette expression, tous les coefficients numériques sont compris entre 0 et 1.
Par ailleurs,
1
=
)
)(1
(1
)
(1
)
(1
2
2
1
1
Donc, M apparaît bien sur ce petit exemple comme combinaison linéaire convexe des
sommets du polygone convexe.
Le théorème proposé est une généralisation à R
n de ce phénomène. Sa démonstration est
d'ailleurs fondée sur l'illustration que nous venons de proposer.
B
C
0
(I)
A
M2
M1
M
x