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Recherche opérationnelle
instant donné, n'a de sens, que par rapport à ce qui va se passer après cet instant et à
partir de l'état considéré. On ne peut calculer les espérances mathématiques à la date
avant d'avoir celles de la date
Au contraire, en programmation dynamique déterministe, comme on pourra se l'assurer
facilement, on peut décrire le temps dans les deux sens.
Autre remarque : nous avons ici une application très particulière du principe
d'optimalité à la formalisation de problèmes aléatoires. Le champ d'utilisation de ce
principe est beaucoup plus vaste. En particulier, nous traitons dans le cas présent des
phénomènes qui sont caractérisés par des variables d'état discrètes
et une
variable temps discrète (c'est pourquoi nous avons intitulé ce paragraphe
« Programmation dynamique discrète »). Mais le principe d'optimalité peut s'appliquer
également, et fructueusement, à des phénomènes à variables d'état et /ou variables temps
continues. Dans ce dernier cas (variable temps continue), la programmation dynamique
se trouve en voisinage étroit avec la théorie du contrôle optimal (voir en particulier tous
les développements théoriques sur le principe de Pontryagin).
Comme les écritures qui viennent d'être proposées sont un tant soit peu rébarbatives,
traitons un petit exemple.
10.6.3. Un exemple de programmation dynamique aléatoire
Considérons une unité de production produisant un bien rare, pour lequel la demande
trimestrielle obéit à la loi de probabilité suivante :
est la demande et
la probabilité correspondante.
Par ailleurs, sur une année considérée, les coûts de production unitaires et les prix de
vente varient de la façon suivante, en fonction du trimestre :
En début de chaque trimestre de l'année considérée, on se pose la question suivante:
quelle quantité faut-il produire
pour maximiser l'espérance de profit, sachant
qu'en début du trimestre , le stock est nul ? On voit que ce problème peut être
schématisé par le processus suivant, où l'ordonnée représente le nombre d'articles en
stock.
d
0
1
2
> 2
p(d)
0,2
0,6
0,2
0
Trimestre
1
2
3
4
Coût de
production unitaire
1,9
2
2
3
Prix
2
2,2
3
3,5
Recherche opérationnelle
instant donné, n'a de sens, que par rapport à ce qui va se passer après cet instant et à
partir de l'état considéré. On ne peut calculer les espérances mathématiques à la date
avant d'avoir celles de la date
Au contraire, en programmation dynamique déterministe, comme on pourra se l'assurer
facilement, on peut décrire le temps dans les deux sens.
Autre remarque : nous avons ici une application très particulière du principe
d'optimalité à la formalisation de problèmes aléatoires. Le champ d'utilisation de ce
principe est beaucoup plus vaste. En particulier, nous traitons dans le cas présent des
phénomènes qui sont caractérisés par des variables d'état discrètes
et une
variable temps discrète (c'est pourquoi nous avons intitulé ce paragraphe
« Programmation dynamique discrète »). Mais le principe d'optimalité peut s'appliquer
également, et fructueusement, à des phénomènes à variables d'état et /ou variables temps
continues. Dans ce dernier cas (variable temps continue), la programmation dynamique
se trouve en voisinage étroit avec la théorie du contrôle optimal (voir en particulier tous
les développements théoriques sur le principe de Pontryagin).
Comme les écritures qui viennent d'être proposées sont un tant soit peu rébarbatives,
traitons un petit exemple.
10.6.3. Un exemple de programmation dynamique aléatoire
Considérons une unité de production produisant un bien rare, pour lequel la demande
trimestrielle obéit à la loi de probabilité suivante :
est la demande et
la probabilité correspondante.
Par ailleurs, sur une année considérée, les coûts de production unitaires et les prix de
vente varient de la façon suivante, en fonction du trimestre :
En début de chaque trimestre de l'année considérée, on se pose la question suivante:
quelle quantité faut-il produire
pour maximiser l'espérance de profit, sachant
qu'en début du trimestre , le stock est nul ? On voit que ce problème peut être
schématisé par le processus suivant, où l'ordonnée représente le nombre d'articles en
stock.
d
0
1
2
> 2
p(d)
0,2
0,6
0,2
0
Trimestre
1
2
3
4
Coût de
production unitaire
1,9
2
2
3
Prix
2
2,2
3
3,5