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Recherche opérationnelle
)
,
(
=
1
1
0
=
t
t
t
T
t
x
x
v
V
Il s'agit alors de trouver la politique qui minimise12 , soit trouver
tels que
)
,
(
=
1
1
0
=
t
t
t
T
t
x
x
v
V
soit minimal (ou maximal)
avec
Plaçons-nous maintenant à une date quelconque et en un état déterminé . On appelle
sous-politique de 0 à le choix de
, et on appelle sous-politique optimale de
pour l'état , le choix de
qui minimise la fonction
)
(
=
)
(
1
1
0
=
k
k
k
i
k
i
i
x
x
v
x
V
avec
)
(
=
)
(
1
1
0
=
k
k
k
i
k
i
i
x
x
v
Min
x
V
Nous allons alors appliquer le principe d'optimalité qui peut ici s'énoncer de la façon
suivante :
Une sous-politique optimale de 0 à i est formée d'une sous-politique optimale de
Ce principe est évident. Soit en effet
,
sont fixés) la sous
politique optimale de
pour
La sous-politique de
, pour
est
optimale. En effet, s'il existait une sous_politique de
meilleure, soit
12 On pourrait traiter aussi des problèmes de maximisation : rien ne serait changé aux
raisonnements; dans ce qui suit, il suffirait de changer l'opérateur Min par l'opérateur Max.