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Recherche opérationnelle
Si l'on symbolise les sous-ensembles qui partitionnent l'ensemble d'états du système,
on peut les schématiser de la façon suivante :
L'absence de flèches à l'intérieur des classes signifie que lorsque l'on se trouve en un
des états d'une classe
à l'étape suivante, on sort obligatoirement de la classe en
question. Plus précisément, on passe en un des états de la classe
On voit alors que
si l'on part de la classe , on y revient à coup sûr au bout de étapes, cela étant vrai
pour n'importe quelle classe . En conséquence, l'on peut dire que la périodicité des
passages en une classe quelconque
est égale à (d'où le nom donné à ce type de
processus). Dans ce cas encore, la raison pour laquelle il ne peut y avoir d'ergodicité est
évidente:
Si l'état initial est on est sûr que :
n'est pas un multiple de
En revanche si
avec entier, alors
En d'autres termes, le vecteur
n'est pas stable : suivant le reste de la division de
par certains
ne sont pas nuls (plus précisément, ceux relatifs aux appartenant
à
et tous les autres sont nuls). Il ne peut y avoir de limite. On
démontre en fait qu'il peut y avoir une limite dans un sens plus général, c'est-à-dire au
sens de Cesàro 10 .
10 En analyse réelle ou complexe, la moyenne de Cesàro d'une suite (a n ) est la suite obtenue en
effectuant la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite. Le nom de Cesàro provient
du mathématicien italien Ernesto Cesàro. Le théorème de Cesàro ou lemme de Cesàro précise que,
lorsque la suite (a n ) a une limite, la moyenne de Cesàro possède la même limite.
C1
C2
Cd-1
Cd