1.3 L’algèbre de Boole binaire
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
21
Du fait que A ! B repré sente la zone hachu rée sur la figure 1.17, on voit
que :
0
1 1 0
0 1
0 1
Figure 1.17
La somme dis jonc tive confère à l’ensemble {0,1} une struc ture de groupe
abélien, car elle est asso cia tive, commu ta tive, admet un élé ment neutre (0), et
chaque élé ment a un symé trique : lui même.
Or, le pro duit logique est asso cia tif, commu ta tif et dis tri bu tif par rap port à la
somme dis jonc tive ; ces pro prié tés entraînent que la somme dis jonc tive et le
pro duit logique munissent l’ensemble {0,1} d’une struc ture d’anneau abélien, qui, en outre, est uni taire ; 1 est l’unité (ou élé ment neutre du pro duit
logique).
Il est alors à remar quer que, 1 admet tant un symé trique pour l’opé ra tion pro -
duit logique, l’anneau abélien uni taire défini ci dessus est un corps.
1.3.2 Tables de vérité
Soit une fonc tion boo léenne des variables a, b, c (valant 0 ou 1) :
5 1 a # b 1
# c 2 # a # b 1
# b # c # 1 a 1
# c 2 .
On la ramène par la formule de de Morgan à la forme :
5 3 (a 1
# b) # c4 # a # b 1
# a # b # c
5 a # b # c 1
# a # b # c 5 m 4 1
# m 2 .
Mon trons que l’on aurait pu obte nir direc te ment sa décom po si tion cano nique en
uti li sant un tableau de valeurs, où les variables a, b, c prennent toutes les valeurs
pos sibles.
Dans la colonne 15, on a fait la somme logique des valeurs conte nues dans les
colonnes 11 et 14, un cal cul direct ayant été pra ti qué à par tir de la forme ini tiale de .
On retrouve bien : 5 m 4 1
# m 2 ; ce sont les deux seuls mintermes à appa raître
dans la décom po si tion.
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
21
Du fait que A ! B repré sente la zone hachu rée sur la figure 1.17, on voit
que :
0
1 1 0
0 1
0 1
Figure 1.17
La somme dis jonc tive confère à l’ensemble {0,1} une struc ture de groupe
abélien, car elle est asso cia tive, commu ta tive, admet un élé ment neutre (0), et
chaque élé ment a un symé trique : lui même.
Or, le pro duit logique est asso cia tif, commu ta tif et dis tri bu tif par rap port à la
somme dis jonc tive ; ces pro prié tés entraînent que la somme dis jonc tive et le
pro duit logique munissent l’ensemble {0,1} d’une struc ture d’anneau abélien, qui, en outre, est uni taire ; 1 est l’unité (ou élé ment neutre du pro duit
logique).
Il est alors à remar quer que, 1 admet tant un symé trique pour l’opé ra tion pro -
duit logique, l’anneau abélien uni taire défini ci dessus est un corps.
1.3.2 Tables de vérité
Soit une fonc tion boo léenne des variables a, b, c (valant 0 ou 1) :
5 1 a # b 1
# c 2 # a # b 1
# b # c # 1 a 1
# c 2 .
On la ramène par la formule de de Morgan à la forme :
5 3 (a 1
# b) # c4 # a # b 1
# a # b # c
5 a # b # c 1
# a # b # c 5 m 4 1
# m 2 .
Mon trons que l’on aurait pu obte nir direc te ment sa décom po si tion cano nique en
uti li sant un tableau de valeurs, où les variables a, b, c prennent toutes les valeurs
pos sibles.
Dans la colonne 15, on a fait la somme logique des valeurs conte nues dans les
colonnes 11 et 14, un cal cul direct ayant été pra ti qué à par tir de la forme ini tiale de .
On retrouve bien : 5 m 4 1
# m 2 ; ce sont les deux seuls mintermes à appa raître
dans la décom po si tion.