1.3 L’algèbre de Boole binaire
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
19
1.3 l’Algèbre de boole binAire
1.3.1 Fonc tion carac té ris tique. Opé ra tions binaires
Appe lons fonc tion carac té ris tique f A 1 x2 d’un élé ment x,
par rap port à un sous- ensemble A du réfé ren tiel, une fonc -
tion qui prend la valeur 1 si et seule ment si x H A et, sinon,
la valeur 0.
On voit clai re ment (figure 1.14) que f A 1 x2 5 1, alors
f A 1 x2 5 0 et inver se ment. C’est la complémentation ou
néga tion logique.
Consi dé rons main te nant deux sous- ensembles A et B d’un
réfé ren tiel R (figure 1.15) et étu dions la valeur de f AdB 1 x2 par rap port aux valeurs de
f A (x) et f B (x) pour toutes les posi tions pos sibles de x.
f A (x) 5 0 ; f B (x) 5 0 ; f A d B 1 x2 5 0
f A (x) 5 0 ; f B (x) 5 1 ; f A d B 1 x2 5 0
f A (x) 5 1 ; f B (x) 5 0 ; f A d B (x) 5 0
f A (x) 5 1 ; f B (x) 5 1 ; f A d B 1 x2 5 1
Figure 1.15
On constate que l’on a dans tous les cas possibles : f A d B (x) 5 f A (x) ? f B (x)
avec les règles habi tuelles du pro duit, que nous appel le rons néan moins, ici pro duit
logique, car il n’est pas dif fi cile de décou vrir qu’il s’agit bien de l’opé ra tion et, envi ­
sa gée plus haut. Effec tuons main te nant l’étude pour f A c B 1 x2 , dans les mêmes condi tions
(figure 1.16).
f A (x) 5 0 ; f B (x) 5 0 ; f A c B 1 x2 5 0
f A (x) 5 0 ; f B (x) 5 1 ; f A c B 1 x2 5 1
Figure 1.14