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1.2 Repré sen ta tion ensembliste des algèbres de Boole
où chaque variable figure sous un et un seul de ses aspects.
Il est facile de voir que le nombre des mintermes de n variables est 2
n
; de même
le nombre des maxtermes.
La notion de minterme (ou atome) est très impor tante ; en effet, d’une part, les
mintermes de n variables sont deux à deux dis joints (ils dif fèrent, en effet, l’un de
l’autre au moins par l’aspect d’une variable: affirmée ou niée ; d’autre part, la réunion des 2
n
mintermes de n variables est égale au réfé ren tiel (en effet, 2
n21
mintermes
s’écrivent A d 1 X 2 d X 3 d c d X n 2 et les 2
n21
autres A d 1 X 2 d X 3 d c d X n 2 ;
ainsi, leur réunion est X 2 d X 3 d c d X n et, en dimi nuant à chaque fois d’une
variable, on finit par tom ber sur X n c X n 5 1). Par consé quent, les mintermes consti -
tuent une par tition du réfé ren tiel.
Tout minterme peut être dési gné par m i , i étant la valeur déci male du nombre binaire
obtenu en fai sant cor res pondre 1 à toute variable affir mée et 0 à toute variable niée.
Exemple. Pour quatre variables A, B, C et D, n 5 4, on a 2
4
mintermes, soit 16. On
écrira, par exemple :
m 13 5 A d B d C d D
1
1
0
1
car la valeur déci male du nombre binaire 1101 est 13.
On montre que toute fonc tion boo léenne
f 1 A 1 , A 2 , c , A i , c A n 2
peut être mise sous une forme unique de réunion de mintermes appelée forme cano
niquedis jonc tive.
Dualement, il existe, bien entendu, une formecano niqueconjonc tive, qui est une
inter sec tion de maxtermes.
Soit un vec teur ligne e 5 3e 0 , e 1 , c , e 2
n 2 1 4 de 2
n
élé ments, e i étant égal à 1 si
le minterme m i existe dans la forme cano nique dis jonc tive, et à 0, sinon. La forme
cano nique dis jonc tive peut donc être sym bo li sée par le pro duit sca laire :
e # m 5 a
2
n 2 1
i50
e i # m i , noté plus bas : d (e d m),
m étant le vec teur colonne :
m 5 F
m 0
m 1
(
m i
(
m 2
n 2 1
V
à condi tion d’inter préter le pro duit de deux compo santes comme une inter sec tion et
la somme des pro duits comme une réunion.
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1.2 Repré sen ta tion ensembliste des algèbres de Boole
où chaque variable figure sous un et un seul de ses aspects.
Il est facile de voir que le nombre des mintermes de n variables est 2
n
; de même
le nombre des maxtermes.
La notion de minterme (ou atome) est très impor tante ; en effet, d’une part, les
mintermes de n variables sont deux à deux dis joints (ils dif fèrent, en effet, l’un de
l’autre au moins par l’aspect d’une variable: affirmée ou niée ; d’autre part, la réunion des 2
n
mintermes de n variables est égale au réfé ren tiel (en effet, 2
n21
mintermes
s’écrivent A d 1 X 2 d X 3 d c d X n 2 et les 2
n21
autres A d 1 X 2 d X 3 d c d X n 2 ;
ainsi, leur réunion est X 2 d X 3 d c d X n et, en dimi nuant à chaque fois d’une
variable, on finit par tom ber sur X n c X n 5 1). Par consé quent, les mintermes consti -
tuent une par tition du réfé ren tiel.
Tout minterme peut être dési gné par m i , i étant la valeur déci male du nombre binaire
obtenu en fai sant cor res pondre 1 à toute variable affir mée et 0 à toute variable niée.
Exemple. Pour quatre variables A, B, C et D, n 5 4, on a 2
4
mintermes, soit 16. On
écrira, par exemple :
m 13 5 A d B d C d D
1
1
0
1
car la valeur déci male du nombre binaire 1101 est 13.
On montre que toute fonc tion boo léenne
f 1 A 1 , A 2 , c , A i , c A n 2
peut être mise sous une forme unique de réunion de mintermes appelée forme cano
niquedis jonc tive.
Dualement, il existe, bien entendu, une formecano niqueconjonc tive, qui est une
inter sec tion de maxtermes.
Soit un vec teur ligne e 5 3e 0 , e 1 , c , e 2
n 2 1 4 de 2
n
élé ments, e i étant égal à 1 si
le minterme m i existe dans la forme cano nique dis jonc tive, et à 0, sinon. La forme
cano nique dis jonc tive peut donc être sym bo li sée par le pro duit sca laire :
e # m 5 a
2
n 2 1
i50
e i # m i , noté plus bas : d (e d m),
m étant le vec teur colonne :
m 5 F
m 0
m 1
(
m i
(
m 2
n 2 1
V
à condi tion d’inter préter le pro duit de deux compo santes comme une inter sec tion et
la somme des pro duits comme une réunion.