Chapitre 1 • Structures ordonnées Applications des treillis
4
A
B
C D E
A, A
A, C
B, B
B, D B, E
D, B
D, D D, E
E, B
E, D E, E
C, A
C, C
A
B
C
D
E
A
C
B D E
A, A A, C
B, B C, C
D, B D, D D, E
E, B E, D E, E
B, B B, D B, E
A
C
B
D
E
T ableau 1.3: relaTion ||
Tableau 1.4: relaTion ||
C
A
D
E
B
(C, C) (C, A) (C, D) (C, E) (C, B)
(B, B)
(E, E) (E, B)
(D, A) (D, D) (D, E) (D, B)
(A, A) (A, D) (A, E) (A, B)
C
A
D
E
B
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .




, 
, 
, 
, 
, 
, 




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
T ableau 1.5
Tableau 1.6: relaTion S
c) Une rela tion réflexive, anti sy mé trique,­tran­ ­ si­ ­ tive est, par définition, une rela tion
d’ordre­(­ large­par­définition).
Exemple. Consi dé rons N* l’ensemble des entiers natu rels privé du zéro, et la rela ­
tion x | y (x divise exac te ment y, sans reste), étant entendu que x divise x, quel que
soit x N*. En rai son de cette der nière hypo thèse, la rela tion est réflexive (ce que
l’on tra duit en disant que l’ordre est large). Elle est évi dem ment tran si tive, car si
x | y et y | z, alors x | z. De plus, elle est anti sy mé trique : en effet si x | y et y | x,
c’est que x 5 y.
Soit X 5 {1, 2, 3, 5, 10, 20, 30} une par tie de N. Le tableau 1.7 repré sente la rela -
tion x | y sur cet ensemble.
1
2
3
5
10
20
30
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 5)
(1, 10)
(1, 20)
(1, 30)
(2, 2)
(2, 10)
(2, 20)
(2, 30)
(5, 5)
(5, 10)
(5, 20)
(5, 30)
(10, 10) (10, 20) (10, 30)
(20, 20)
(30, 30)
(3, 3)
(3, 30)
1
2
3
5
10
20
30
Tableau 1.7