~ Propriété utile en pratique.
Q llestclairqueN 00 estunenormedeE.
Si a = 0, comme v atteint sa borne
inférieure a, il existe x E S tel que
v(x ) = 0, d'où 0 = x E S, contradiction.
1.3 • Compacité
Soit E un IK-ev de dimension finie.
Toutes les normes sur E sont équivalentes.
Preuve
Le OC-ev E admet au moins une base finie B = (e 1 , ... ,en ) ; notons N 00 :
E ----+ ~
li
LXiei t--+ Max lxil
i=I
l ~i~n
Soit N une norme sur E ; nous allons montrer N ~ N 00 .
Notons S = { (x 1 , ... ,x,,) E ocn ; M.ax lx; 1 = 1}, et considérons l'application
l ~l~n
v:
JK"----+ ~
,où lK" estmunidelanormeusuelle ll .1 1 00 .
(x1 ,. .. ,xn) t--+ N(txiei)
t = I
• v est continue car lipschitzienne :
'Vx = (x1,. .. ,x,,) E JK" , 'Vy = (YI,. .. ,y,,) E JK" ,
]
lv(x) - v(y) I ::::;; N(~(Xi - Yi )ei) ::::;; ~ lxi - Yi l N(ei) ::::;; (~ N(ei)) · llx - Ylloo ·
•Puisque la sphère-unité S de (OC", 11 .l loo ) est compacte (car fermée bornée, cf. Lemme p. 62), larestriction de v à S est bornée et atteint ses bornes ; il existe donc (a ,/3) E ~
2 tel que:
a = Inf v(x) , f3 = Sup v(x).
xeS
xeS
Comme 0 ~ S, on a: 0 < a : : : : ; ; /3.
Ainsi: 3 (a , /3) E (~~_)2 , Vx ES, a ::::;; v(x) ::::;; f3.
Soit alors x E E - {0},
li
x = L:x; ei ,
i=I
/
1
/
x = (x 1 , ... ,xll) ; comme l lx'l loo x E Set que
N 00 (x) = llx'll 00 , on déduit: aN 00 (x) ::::;; N(x) ::::;; f3N 00 (x).
Finalement: N ~ N 00 •
•
Dans tout IK -evn (E , N) de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées bornées.
Preuve
Soient B = (e 1 ,. •• ,e 11 ) une base de E, N 00 :
n
L:x;e; ~Max lx; I
i = I
l ~ i ~ n
•On sait déjà (cf. 1.3. l Prop. 2 p. 59) que toute partie compacte de E est fermée bornée.
•Soit X une partie fermée bornée de E. Puisque N ~ N 00 , X est bornée dans (E, N 00 ) et, puisque
IdE : (E,N 00 ) ~ (E,N) est continue, X= Idï;:
1 (X) est fermée dans (E,N 00 ). D'après le Lemme
p. 62, X est alors une partie compacte de (E,N 00 ), donc de (E ,N) puisque ldE : (E ,N 00 ) ~ (E , N)
est continue et que X = Ide( X).
Remarque:
Si E est un lK-evn de dimension finie, alors B' (O; l) est compacte (cf.Théorème 2).
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Q llestclairqueN 00 estunenormedeE.
Si a = 0, comme v atteint sa borne
inférieure a, il existe x E S tel que
v(x ) = 0, d'où 0 = x E S, contradiction.
1.3 • Compacité
Soit E un IK-ev de dimension finie.
Toutes les normes sur E sont équivalentes.
Preuve
Le OC-ev E admet au moins une base finie B = (e 1 , ... ,en ) ; notons N 00 :
E ----+ ~
li
LXiei t--+ Max lxil
i=I
l ~i~n
Soit N une norme sur E ; nous allons montrer N ~ N 00 .
Notons S = { (x 1 , ... ,x,,) E ocn ; M.ax lx; 1 = 1}, et considérons l'application
l ~l~n
v:
JK"----+ ~
,où lK" estmunidelanormeusuelle ll .1 1 00 .
(x1 ,. .. ,xn) t--+ N(txiei)
t = I
• v est continue car lipschitzienne :
'Vx = (x1,. .. ,x,,) E JK" , 'Vy = (YI,. .. ,y,,) E JK" ,
]
lv(x) - v(y) I ::::;; N(~(Xi - Yi )ei) ::::;; ~ lxi - Yi l N(ei) ::::;; (~ N(ei)) · llx - Ylloo ·
•Puisque la sphère-unité S de (OC", 11 .l loo ) est compacte (car fermée bornée, cf. Lemme p. 62), larestriction de v à S est bornée et atteint ses bornes ; il existe donc (a ,/3) E ~
2 tel que:
a = Inf v(x) , f3 = Sup v(x).
xeS
xeS
Comme 0 ~ S, on a: 0 < a : : : : ; ; /3.
Ainsi: 3 (a , /3) E (~~_)2 , Vx ES, a ::::;; v(x) ::::;; f3.
Soit alors x E E - {0},
li
x = L:x; ei ,
i=I
/
1
/
x = (x 1 , ... ,xll) ; comme l lx'l loo x E Set que
N 00 (x) = llx'll 00 , on déduit: aN 00 (x) ::::;; N(x) ::::;; f3N 00 (x).
Finalement: N ~ N 00 •
•
Dans tout IK -evn (E , N) de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées bornées.
Preuve
Soient B = (e 1 ,. •• ,e 11 ) une base de E, N 00 :
n
L:x;e; ~Max lx; I
i = I
l ~ i ~ n
•On sait déjà (cf. 1.3. l Prop. 2 p. 59) que toute partie compacte de E est fermée bornée.
•Soit X une partie fermée bornée de E. Puisque N ~ N 00 , X est bornée dans (E, N 00 ) et, puisque
IdE : (E,N 00 ) ~ (E,N) est continue, X= Idï;:
1 (X) est fermée dans (E,N 00 ). D'après le Lemme
p. 62, X est alors une partie compacte de (E,N 00 ), donc de (E ,N) puisque ldE : (E ,N 00 ) ~ (E , N)
est continue et que X = Ide( X).
Remarque:
Si E est un lK-evn de dimension finie, alors B' (O; l) est compacte (cf.Théorème 2).
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