"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
et donc :
l (
(x + À)./3 )
Vx E / , y(x ) = - 2
J3 tan
2
+ 1 .
1
(x+À).J3
)
Pour À E IR, notons fJ,, :x ~ - 2
.J3 tan
2
+ 1 ,
où Def(Jü = IR - { rr ~nrr - À; n E Z} .
•Soit (xo .Yo) E IR 2 .
L'application (x ,y) f----+ -(y+ y 2 + 1) est de classe C 1 sur
l'ouvert IR 2 . Donc, d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz
(8.2.1 3) Théorème p. 4 37), le problème de Cauchy
[
y' = -(y + y 2 + 1)
admet une solution maximale et une
y(xo) = Yo
seule. Notons
2
2y 0 + 1
ÀQ = - xo - -
Arctan
.
J3
J3
La restriction de h. 0 à ] - ~ - ÀQ; ~ - ÀQ [ est solution
[
y ' = -(y + y2 + 1)
du probl ème de Cauc hy
et, comme
y(xo) = Yo
elle est de limite infinies aux extrémités de l'intervalle, c'est
la solution maximale.
Les solutions maximales se déduisent les unes des autres par
des translatio ns de la variable.
Réponse : les solutions maximales sont :
] - ~ - À; ~ - À [ ----+ IR , À E R
x~- ~ ( .J3 tan (x+~).J3 + l)
y
Allure des
courbes intégrales
j ) Réponse : les solutio ns maximales sont :
• IR ----+ IR
x~ - l
• IR ----+ IR
À E IR_
x~ _ >..e -2'
Àex - 1
X
•] - oo; - ln À[---+ IR , À E IR+
Àex - 2
x~ - Àex - 1
•] - ln À; +oo[---+ IR , À E IR+ .
x~ - Àex -2
ÀeX - ]
k) Il s'agit d'une ED incomplè te en x , non normalisée.
O n peut recherche r certaines solutio ns en paramétrant la
courbe d'équation F (u , v) = 0, où
F : (u,v) f----+ v - ln v + u. U n paramétrage évident est
{
u = t - lnt
, t > O.
V= {
On a alors y = t - ln t y' = dy = t
'
dx
'
d'où dx = dx · dy = ~ (1 - ~ )
dt
dy dt
t
t ,
1
et do nc x = - + ln t + C, C E IR .
t
Une représentation paramétrique de certaines courbes intégrales
(yc) est donc :
1
X = ~ + ln t + C
,
t
, t E ]Ü; +oo[ le parametre, C E IR.
y= t - lnt
Tracer la courbe (yo) ; (yc) se déduit de (yo) par la translation de vecteur C i.
y
0
X
Réponse : les solutions sont les (restrictions à des intervalles
de s) fonctions correspondant aux deux branches de la courbe
(Yc) de représentation paramétrique
1
X = ~ + ln t + C
t
, t E]O; +oo[ (CE IR).
y= t - ln t
So it (xo.Yo) E IR 2 .
• Si YO < 1, il n'existe aucune solution y telle que
y(xo) = YO·
• Si YO > 1, il existe deux solutions « maxima les» correspondant aux deux branches de (yc ), où C = xo - 1 .
y
X
0
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(V)
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et donc :
l (
(x + À)./3 )
Vx E / , y(x ) = - 2
J3 tan
2
+ 1 .
1
(x+À).J3
)
Pour À E IR, notons fJ,, :x ~ - 2
.J3 tan
2
+ 1 ,
où Def(Jü = IR - { rr ~nrr - À; n E Z} .
•Soit (xo .Yo) E IR 2 .
L'application (x ,y) f----+ -(y+ y 2 + 1) est de classe C 1 sur
l'ouvert IR 2 . Donc, d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz
(8.2.1 3) Théorème p. 4 37), le problème de Cauchy
[
y' = -(y + y 2 + 1)
admet une solution maximale et une
y(xo) = Yo
seule. Notons
2
2y 0 + 1
ÀQ = - xo - -
Arctan
.
J3
J3
La restriction de h. 0 à ] - ~ - ÀQ; ~ - ÀQ [ est solution
[
y ' = -(y + y2 + 1)
du probl ème de Cauc hy
et, comme
y(xo) = Yo
elle est de limite infinies aux extrémités de l'intervalle, c'est
la solution maximale.
Les solutions maximales se déduisent les unes des autres par
des translatio ns de la variable.
Réponse : les solutions maximales sont :
] - ~ - À; ~ - À [ ----+ IR , À E R
x~- ~ ( .J3 tan (x+~).J3 + l)
y
Allure des
courbes intégrales
j ) Réponse : les solutio ns maximales sont :
• IR ----+ IR
x~ - l
• IR ----+ IR
À E IR_
x~ _ >..e -2'
Àex - 1
X
•] - oo; - ln À[---+ IR , À E IR+
Àex - 2
x~ - Àex - 1
•] - ln À; +oo[---+ IR , À E IR+ .
x~ - Àex -2
ÀeX - ]
k) Il s'agit d'une ED incomplè te en x , non normalisée.
O n peut recherche r certaines solutio ns en paramétrant la
courbe d'équation F (u , v) = 0, où
F : (u,v) f----+ v - ln v + u. U n paramétrage évident est
{
u = t - lnt
, t > O.
V= {
On a alors y = t - ln t y' = dy = t
'
dx
'
d'où dx = dx · dy = ~ (1 - ~ )
dt
dy dt
t
t ,
1
et do nc x = - + ln t + C, C E IR .
t
Une représentation paramétrique de certaines courbes intégrales
(yc) est donc :
1
X = ~ + ln t + C
,
t
, t E ]Ü; +oo[ le parametre, C E IR.
y= t - lnt
Tracer la courbe (yo) ; (yc) se déduit de (yo) par la translation de vecteur C i.
y
0
X
Réponse : les solutions sont les (restrictions à des intervalles
de s) fonctions correspondant aux deux branches de la courbe
(Yc) de représentation paramétrique
1
X = ~ + ln t + C
t
, t E]O; +oo[ (CE IR).
y= t - ln t
So it (xo.Yo) E IR 2 .
• Si YO < 1, il n'existe aucune solution y telle que
y(xo) = YO·
• Si YO > 1, il existe deux solutions « maxima les» correspondant aux deux branches de (yc ), où C = xo - 1 .
y
X