1.3 · Compacité
Preuve
N
( N
)
1) Supposons f1 X k compact. Comme, pour chaque i de { 1, ... , N }, X i = pri f1 X k , et que les
k=I
k= I
projections pr; sont continues (cf. 1.2.2 1 )) Prop. 4 p. 43), on en conclut que X; est compact (cf. 1.3.1
Prop. 5 p. 60).
2) Réciproque par récurrence sur N , le cas de deux parties ayant été vu (Prop. 4 p. 59).
1-~:::::=:::::::::.~- Théorème de Heine
Soient X E ~(E), F un IK -evn,f: X -----+ F une application.
~i X est compacte et si f est continue, alors f est uniformément continue.
Preuve
Supposons X compacte et f continue.
Raisonnons par l'absurde ; supposons f non uniformément continue, c'est-à-dire :
non( Vs> 0, 317 > 0, V(x',x") E X
2
,
(dE(x',x") ~ 11 ==> dF(f (x') ,f(x")) ~ s )).
Tl existe donc s > 0 tel que :
' <117 > 0, 3(x',x ") E X 2 , ( dE(x',x ") ~ 17 et dF(f (x ') ,f(x" )) > S).
En particulier, pour tout n de N*, il existe (x~ , x~) E X
2 tel que :
dE (X~,x~) ~ ~ et dF(f(x~),f(x~)) > s .
•
Puisque X est compacte, X
2 est compacte (cf. Prop. 4 p. 59), donc la suite (x~ ,x~)nEN* admet au moins
une valeur d'adhérence dans X
2 . Il existe ainsi une extractrice a et (x' ,x " ) E X
2 tels que :
x'
-----* x' et x" -----* x".
a(n) noo
a(n) noo
Comme, pour tout n de N* :
d E(x ',x") ~ d(x',x~(n) ) +d(x~(n)'x~(n)) +d(x~(n)•x") ,
on déduit d E(x',x" ) = 0, x' = x" .
Mais, puisque f est continue en x' et x" :
f (x~(n)) --;;;;;: f(x') et f(x~(n) ) --;;;;;: f (x"),
donc d (!Cx~(ni>J(x~(n))) --;;;;;: d (tcx'),f (x")) = 0 , en contradiction avec :
' s .
Les méthodes à retenir
Compacité : généralités
•
• Dans un contexte de compacité, pour établir qu'un certain réel est > 0 (ex. 1.3.1) on peut essayer de faire
intervenir une application continue sur un compact et à valeurs dans !Ri.
• Un raisonnement par l'absurde permet souvent de construire une suite, puis d'appliquer la compacité pour extraire une suite convergente et obtenir une contradiction (ex. 1.3.4, 1.3.5).
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Preuve
N
( N
)
1) Supposons f1 X k compact. Comme, pour chaque i de { 1, ... , N }, X i = pri f1 X k , et que les
k=I
k= I
projections pr; sont continues (cf. 1.2.2 1 )) Prop. 4 p. 43), on en conclut que X; est compact (cf. 1.3.1
Prop. 5 p. 60).
2) Réciproque par récurrence sur N , le cas de deux parties ayant été vu (Prop. 4 p. 59).
1-~:::::=:::::::::.~- Théorème de Heine
Soient X E ~(E), F un IK -evn,f: X -----+ F une application.
~i X est compacte et si f est continue, alors f est uniformément continue.
Preuve
Supposons X compacte et f continue.
Raisonnons par l'absurde ; supposons f non uniformément continue, c'est-à-dire :
non( Vs> 0, 317 > 0, V(x',x") E X
2
,
(dE(x',x") ~ 11 ==> dF(f (x') ,f(x")) ~ s )).
Tl existe donc s > 0 tel que :
' <117 > 0, 3(x',x ") E X 2 , ( dE(x',x ") ~ 17 et dF(f (x ') ,f(x" )) > S).
En particulier, pour tout n de N*, il existe (x~ , x~) E X
2 tel que :
dE (X~,x~) ~ ~ et dF(f(x~),f(x~)) > s .
•
Puisque X est compacte, X
2 est compacte (cf. Prop. 4 p. 59), donc la suite (x~ ,x~)nEN* admet au moins
une valeur d'adhérence dans X
2 . Il existe ainsi une extractrice a et (x' ,x " ) E X
2 tels que :
x'
-----* x' et x" -----* x".
a(n) noo
a(n) noo
Comme, pour tout n de N* :
d E(x ',x") ~ d(x',x~(n) ) +d(x~(n)'x~(n)) +d(x~(n)•x") ,
on déduit d E(x',x" ) = 0, x' = x" .
Mais, puisque f est continue en x' et x" :
f (x~(n)) --;;;;;: f(x') et f(x~(n) ) --;;;;;: f (x"),
donc d (!Cx~(ni>J(x~(n))) --;;;;;: d (tcx'),f (x")) = 0 , en contradiction avec :
'
Les méthodes à retenir
Compacité : généralités
•
• Dans un contexte de compacité, pour établir qu'un certain réel est > 0 (ex. 1.3.1) on peut essayer de faire
intervenir une application continue sur un compact et à valeurs dans !Ri.
• Un raisonnement par l'absurde permet souvent de construire une suite, puis d'appliquer la compacité pour extraire une suite convergente et obtenir une contradiction (ex. 1.3.4, 1.3.5).
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