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Si llx11ll ~ + oo,alors (x11)11
1100
n'a pas de valeur d'adhérence.
Exercice 1.3.3.
On remarquera que les conditions X
fermé dans E et X fermé dans Y sont
équivalentes, puisque Y est une partie
ferméede E.
Par une récurrence immédiate, on voit
que le produit cartésien d'un nombre fini
de parties compactes est compact (voir
Prop. ci-après) .
1.3 • Compacité
Exemple: { ~; n EN* } U {O} est une partie compacte de IR .
Toute partie compacte de E est fermée bornée dans E.
Preuve
Soit X une partie compacte de E.
1) Soit (x 11 ) 11 eN une suite dans X , convergeant vers un élément y de E.
Puisque X est compacte, il existe une extractrice a et un élément x de X tels que Xa(n) ~ x. Mais
1100
(xa( 11 J),,EN est extraite de (x 11 ) 11 eN qui converge vers y, donc (xa( 11 J),,EN converge vers y, x =y, et donc
y E X.
Ceci montre que X est une partie fermée de E.
2) Raisonnons par l'absurde; supposons X non bornée, c'est-à-dire:
VC E IR+, 3x EX, llx ll ~ C.
En particulier, pour tout n de N, il existe x 11 E X tel quel lx 11 l I ~ n. Alors (x 11 ) 11 eN n'a pas de valeur d'adhérence (ni dans X, ni dans E), contradiction avec la définition de X compact.
Ainsi, X est bornée.
•
Soient Y une partie compacte de E et X une partie de Y telle que X soit fermée Î
dans E. Alors X est une partie compacte de E.
Preuve
Soit (x 11 ) 11 eN une suite dans X. Puisque X c Y et que Y est compacte, il existe une extractrice a et un
élément y de Y tels que Xa(n) ~ y. Mais, comme les Xa(n) sont dans X et que X est fermée dans E,
1100
on a: y EX.
Ainsi, toute suite dans X admet au moins une valeur d'adhérence dans X, donc X est compacte.
•
Soit Y une partie compacte de E. On a, pour toute partie X de Y :
X fermée {:::::::::} X compacte.
Soient E, F deux evn. Pour toutes parties compactes X de E et Y de F, X x Y est une
L.:artie compact_ e_d_e_E_ x_F_ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Preuve
Soit (x11,Y11)11eN une suite dans X x Y.
Puisque X est compact, il existe une extractrice a et un élément x de X tels que Xa( 11 ) ~ x.
1100
Ensuite, comme Y est compact, la suite (Ya( 11 i) 11 eN admet au moins une valeur d'adhérence dans Y ; il existe
donc une extractrice Tet un élément y de Y tels que Ya(r (n)) ~ y.
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Si llx11ll ~ + oo,alors (x11)11
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n'a pas de valeur d'adhérence.
Exercice 1.3.3.
On remarquera que les conditions X
fermé dans E et X fermé dans Y sont
équivalentes, puisque Y est une partie
ferméede E.
Par une récurrence immédiate, on voit
que le produit cartésien d'un nombre fini
de parties compactes est compact (voir
Prop. ci-après) .
1.3 • Compacité
Exemple: { ~; n EN* } U {O} est une partie compacte de IR .
Toute partie compacte de E est fermée bornée dans E.
Preuve
Soit X une partie compacte de E.
1) Soit (x 11 ) 11 eN une suite dans X , convergeant vers un élément y de E.
Puisque X est compacte, il existe une extractrice a et un élément x de X tels que Xa(n) ~ x. Mais
1100
(xa( 11 J),,EN est extraite de (x 11 ) 11 eN qui converge vers y, donc (xa( 11 J),,EN converge vers y, x =y, et donc
y E X.
Ceci montre que X est une partie fermée de E.
2) Raisonnons par l'absurde; supposons X non bornée, c'est-à-dire:
VC E IR+, 3x EX, llx ll ~ C.
En particulier, pour tout n de N, il existe x 11 E X tel quel lx 11 l I ~ n. Alors (x 11 ) 11 eN n'a pas de valeur d'adhérence (ni dans X, ni dans E), contradiction avec la définition de X compact.
Ainsi, X est bornée.
•
Soient Y une partie compacte de E et X une partie de Y telle que X soit fermée Î
dans E. Alors X est une partie compacte de E.
Preuve
Soit (x 11 ) 11 eN une suite dans X. Puisque X c Y et que Y est compacte, il existe une extractrice a et un
élément y de Y tels que Xa(n) ~ y. Mais, comme les Xa(n) sont dans X et que X est fermée dans E,
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on a: y EX.
Ainsi, toute suite dans X admet au moins une valeur d'adhérence dans X, donc X est compacte.
•
Soit Y une partie compacte de E. On a, pour toute partie X de Y :
X fermée {:::::::::} X compacte.
Soient E, F deux evn. Pour toutes parties compactes X de E et Y de F, X x Y est une
L.:artie compact_ e_d_e_E_ x_F_ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Preuve
Soit (x11,Y11)11eN une suite dans X x Y.
Puisque X est compact, il existe une extractrice a et un élément x de X tels que Xa( 11 ) ~ x.
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Ensuite, comme Y est compact, la suite (Ya( 11 i) 11 eN admet au moins une valeur d'adhérence dans Y ; il existe
donc une extractrice Tet un élément y de Y tels que Ya(r (n)) ~ y.
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