"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
d'où : ln - ln +ln n = Io
1
gn + in gn = Ion gn
= r !_ ~ (1 _ ~)kc1x
Jo n k=O
n
n- 1 [
l
X k+l]n
n- 1 l
n l
=L: -- (1- -) =I: - =I: -
k=Ü
k + 1
n
o k=O k + 1 k= l k .
b) D'après a) a) :
i
l 1 - e-x fol e- f
ln-ln~
dx +
- - dx.
noo o X
o X
n 1
D'après a) f3) : ln - ln = -lnn + L k'
k=I
1
fo
l 1 - e-x - e-:x
Finalement :
dx = y.
X
Remarque:
1
Par le changement de variable t = - , on a aussi :
X
1
i
+oo 1 - e- T - e-t
y =
dt, et donc aussi :
1
t
1
1 !o+oo l - e-x - e-:x
y= -
dx.
2 Q
X
a) Notons, pour tout n de N , 'Pn : JO; +oo[-----+ JR l'application
définie par :
cp,,(x) = { cp(ifn(X) si X EJO; n]
six EJn; +oo[ ·
•Pour tout n de N, 'Pn est continue par morceaux sur JO; +oo[.
c.s.
• cp,, ~ cpf et cpf est continue par morceaux sur JO; +oo[.
noo
•Pour tout n de N, l'Pn 1 :S:; lcpl If 1. et lcpl If 1 est continue par
morceaux, ~ 0, intégrable sur JO; +oo[.
D'après le théorème de convergence dominée,
la
+oo
!o+oo
'Pn ~
cpf, c'est-à-dire:
0
1100
0
Io
n
!o+oo
cp(x)fn(x) dx ~
cp(x)f(x) dx.
0
noo 0
b) Notons

n--> ln x
JO; +oo[, et, pour tout n de N*, fn : JO; +oo[---+ JR définie
par:
si XE [O; nJ
six EJn; +oo[
c.s.
Alors : • fn ~ f, où f: JO; +oo[---+ lR
11 00
•Vn EN*, Ifni :S:; lfl
• f est continue par morceaux sur JO; +oo[
• D'après a):
1 - -
ln x dx ~
e-~ ln x dx.
Io "( x)"
!o+oo .
o
n
11 00
o
D'autre part, pour tout n de N* :
r (1 - ~)
11
lnx dx = n {l y
11 ln(n(l - y)) dy
lo
n
y=l - ~ lo
n
fol
= - - Inn+ n y
11 ln(l - y)dy.
n + 1
o
À l'aide d'une intégration par parties, en choisissant
yn+ I -1
y t---+
comme primitive de y t---+ yn sur ]0; l[,
n+l
on a:
f
yn+I -1
y" Jn(l - y)dy =
ln(l - y)
n+l
+!
yn+ l - 1
1
- - - - - dy,
n+l
l - y
yn+l _ 1
y
d'où, puisque
ln(l - y) ~ - - ~ 0
n + 1
y-> 0 n + 1 y->0
yn+ l _ 1
et que
ln(! - y) ~ (y- l)ln(I - y)~ 0:
n + 1
y-> 1
y-> l
i
1
Io 1 y"+ 1 - 1 1
yn ln(l - y) dy =
- - dy
O
o n+l 1-y
l loi ( n k)
1 n+l l
=- -
L Y dy =- -
L: - .
n + 1 o k=O
n + 1 k= 1 k
Donc:
Io
" ( x)"
n ("+1 1 )
1 - -
ln x dx = - - - L - - ln n .
o
n
n + 1 k=l k
D'après l'étude de la constante d'Euler (cf.
" 1
p.259): L"k=lnn+y+o(l ),
k= l
on conclut: {" (1 - ~)" 1nx dx ~ - y,
Jo
n
noo
et finalement : fo+oo e-x lnx dx =-y.
Cf. aussi exercice 5.1.37.
a) On a, pour tout x de JO; +oo[ :
f
+oo
=
(x+r./Xre-x-t./X./Xdt
t=tl-X
-.ji
.jX
§ 4.3.7 2) ,
(
x) x
f +oo ( r ) x
=
~ ./X -.Ji 1 +./X e-t./X dt.
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