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0
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O'l
·;::::
>0..
0
u
aF
2xt
2
• -
: (x, t ) r---+
es t définie sur
ax
( 1 + x 2 t2)( 1 + t2)
IR. x [0 ; +oo[, continue par rapport à x , continue par morceaux
(car continue) par rapport à t.
aF
• - vérifie HD locale sur ]0; +oo[ x [0; +oo[ car, pour tout
ax
b de ]O; +oo[, en notant 'l/Jb: [O; +oo[---+ IR.,
l~ -- 2b(l+t2)
'l/Jb est continue, ~ 0 , intégrable sur [O; + oo[, et:
V(x ,t) E [b; +oo[ x [0; +oo[,
1
aF
1
2xt
2
1
2
1
- (x,t) =
2 2 - - 2 ::( - - - 2 ::;; 'l/Jb(t) .
ax
1 +X t 1 + t
X 1 + (
D'après une extension du théorème de continuité sous le signe
f, et une extension du théorème de dérivation sous le signe f,.
on en déduit :
•Pour tout x de IR. , F(x, ·) est intégrable sur [O; +oo[
aF
• Pour tout x de ]O; +oo[,
sur [O; +oo[
~(x , ·) est intégrable
• f: IR. ---+ IR.
est continue sur IR.
;;
+oo
x ~ 0
F(x,t)dt
• f est de classe C
1 sur ]O; +oo[ (donc aussi sur] - oo; O[ par
parité évide nte), et:
t
+oo
2xt 2
Vx E]O; +oo[, f'(x) =
2 2
2
dt.
0
(1 +X t )( 1 + t )
Pour tout x de ]0; 1[U] 1; +oo[ , on obtient, à l'aide d'une
décomposition en éléments simples :
f'(x) = - -
- - - dt
2x !o+oo ( 1
1 )
1 - x 2 o
1 + x2t2 1 + t2
=
1
~ xZ [ Arctan(xt) - x Arctan t J;
00
= l ~ x2 ( ~ - 7r 2X ) = l : X.
Comme f est de classe C 1 sur ]O; +oo[, par continuité de f'
7r
en 1, on a: Vx E]O; +oo[, f'(x) = - -.
l+ x
Puisque f est continue en 0 et que f (0) = 0 , on déduit :
Vx E [0; +oo[, f (x) = n ln (l + x) .
Enfin, comme f est paire :
Vx E] - oo; 0], f (x) = f (-x) = n ln (l - x) .
Finalement : Vx E IR., f (x) = n ln(l + lxl).
a) Soit x E IR..
cos(xt)
t sin(x t )
•Les applications t r---+
1
+ t 2 , t r---+
1
+ t 2 ,
t sin(xt)
cos(xt)
t r---+ (1 + t 2 ) 2 , t r---+ (l + t 2 ) 2 sont continue s su r
[O; +oo[.
1
cos(xt)1
1
• On a, pour tout t de [O; +oo[, - -
2
- ::( - -
2
,
l +t
l+t
1
t sin(xt) 1
t
1 cos(xt) 1
1
(l + t2)2 ::;; (1 + t2)2' (1 + t2)2 ::;; (1 + t2)2'
cos(xt)
t sin(xt)
cos(xt)
donc t r---+ - -
2
-, t r---+
2 2
, t r---+
2 2
sont
1 + t
(l + t )
(l + t )
intégrables sur [O; +oo[.
• À l'aide d'un développement asymptotique (pour x fixé, t tendant vers +oo) :
t sin(xt) = sin(xt) _ 1 _ = sin(xt) + 0 (2-) .
1 + t2
t
1
t
r3
l + -
r2
Comme !i-"+oo si: u du converge et que 0 ( t~ ) est
l o
->+oo t sin(xt)
intégrable sur[l ; +oo[, on en déduit que
2
dt
0
1 + t
converge.
Ceci montre que f (x), g(x), h(x), k(x) existent ; f (x) , h(x) ,
k(x) sont défi nies par des intégrales de fo nctions intégrables,
et g(x) est définie par une intégrale impropre.
b) Soit x E IR.. On a, à l'aide d'une intégration par parties, pour
tout T de [O; +oo[ :
t
T cos(xt)
sin xT
!or t sin(xt)
X
- - - dt= - - - + 2
dt,
o 1 + t 2
1 + r2
o o + 12)2
d'où, en faisant tendre T vers +oo : xf (x) = 2h(x).
c) Notons H : [O; +oo[x [O; +oo[---+ IR..
(x t)~ t sin(xl)
,
(1 +12)2
• Po ur to ut x E [O; +oo[, H (x,·) es t intégrabl e
sur [O ; +oo[.
1 •
a H
t 2 cos (xt)
-
· (x t ) r---+ - - - -
ax . ,
( 1 + t2)2
est
définie
sur
[O ; +oo[ x [O ; +oo[, continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t.
aH
• -
vérifie HD sur [0; +oo[ x [0; +oo[ car, en notant 'ljJ :
ax
[O; + oo[---+ IR. , ' i/J est continue, ~ 0 , intégrable sur [O; +oo[,
/~
12
(1 +12)2
et :
V(x,t) E [O; +oo[ x [O; +oo[, 1 ~; (x,t)I ::( ' l/J(t).
D'après le théorème de dérivation sous le signe f, , on en déduit :
aH
• Pour to ut x de [0; +oo[, ~(x , -) est intégrab le
sur [O; +oo[
• h est de classe C 1 sur [O; +oo[ et : V x E [O; +oo[,
1
r +oo t 2 cos(xt)
h (x) = Jo (1 + t 2 ) 2 dt = f (x) - k(x).