"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
âF
3) -
vérifie HD sur [O; +oo[x[O; +oo[ car, en notant 'l/J :
âx
[0; +oo[---+ IR, 'l/J e st continue, ~ 0 , intégrable, et :
t t----> L e_,2
2
\f(x,t) E [0; +oo[x[O; +oo[, 1 ~: (x,t)I ~ 'l/J(t).
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
1 · on en déduit :
1) Pour tout X de [O; +oo[, a F (x,.) est intégrable sur [O; +oo[
âx
2) f est de classe C 1 sur [O; +oo[ et :
la
+oo
t
2
\lx E [O; +oo[,f'(x) =
.JT+Xt e- t dt > O.
O
2 l +xt
Ceci montre que f est strictement croissante sur [O; +oo[.
La même argumentation permet de montrer que f est de
classe C 2 sur [0; +oo[ et: \lx E [0; +oo[,
1 la +oo
t2
2
f"(x) = -Jf+Xt e1 dt < 0,
4 o
1 + xt
donc f est (strictement) concave sur [O; +oo[.
•Étude en 0:
r +oo
2
,.j7i
On a: f (0) = lo e1 dt = 2
et J'(O) = fo+oo ~ e- 12 dt=[-~ e-12J:oo - ~
• Étude en +oo :
On a, pour tout x de ]0; +oo[ :
r +oo
2
O ~ f (x) - lo ../Xie1 dt
r +oo
2
= lo (~ - ../Xi)e-1 dt
la
+oo
e - 12
=
dt
0
.JT+Xt + ../Xi
la
+oo e- 12
1 la+oo e- 12
:::::
- - dt - - -
- - dt
"' 0
2Ft - 2..fi 0 .fi .
r +oo
2
r +oo 1
2
Deplus:lo
,JXte1 dt=../XJ
0
r ze1 dt
= . .fi r +oo u- ~ e- 11 du = .fi r (~).
11=12 2 lo
2
4
On obtient ainsi :
donc Cf admet une branche parabolique de direction asymptotique x' x (voir figure ci-après).
b) Il est clair que: Def(f) =IR.
•Notons F : IR x [0; +oo[---+ IR.
(x ,t)t---->e-1Lx12
y
y=f(x)
0
X
1) Pour tout x E IR, F(x ,.) est intégrable sur [O ; +oo[.
2) âF : (x,t) f----+ - t 2 e -
13
-x
12 est définie sur IR x [O; +oo[,
ax
continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue)
par rapport à t.
3) â F vérifie HD locale sur IR x [O; +oo[ car, pour tout a de IR,
âx
en notant Wa : [0; +oo[---+ IR , 'lf a est continue, ~ 0 , intégrable
t t----> 12e-13-a12
sur [O; +oo[, et:
\f(x,t) E [a; +oo[x[O; +oo[, 1 ~: (x,t)I ~ 'lfa (t).
D 'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
1 ·on en déduit:
J) Pour tout x de IR, a F (x , ·) est intégrable sur [O; +oo[
ax
2) f est de classe C 1 sur IR et:
r +oo
3
2
\lx E IR, J'(x) = - lo
t
2 e1 - xt dt < O.
Ceci montre que f est strictement décroissante sur IR .
La même argumentation permet de montrer que f est de
classe C 2 sur IR et :
r +oo
3
2
\lx E IR, f"(x) = Jo
t 4 e1 -xt dt > 0,
donc f est (strictement) convexe sur IR.
•Étude en 0:
la
+oo
3
lla+oo
2
On a: f(O) =
e1 dt = -
u-3e-" du
0
l/.=t 3 3 0
et: J '(O) = - fo +oo t2e- 13 dt= D e_ ' JJ:oo = -~
• Étude en -oo :
Pour x ~ -2, notons X= -x ~ 2, et ainsi :
r +oo
3
2
r +oo
2
f(x) = lo
e -1 +x1 dt= Jo
e rx - 1
2
rx - 1 2
rx- 1
~ J1
e et dt ~ 11
et dt
= eX - 1 - 1,
f(x)
d'où: f(x) ~ +oo et - - ~ -oo.
x~-oo
X x~-oo