"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
• L'application f: lR ----+ lR
est de classe C 1 sur lR
yt--+J+oo e-12+iy1dt
- OO
et:
r +oo
2 .
V y E lR, J'(y) = ] _
00
ite1 +iyt dt.
Une intégration par partie donne, pour y E lR et T E [O; +oo[ :
[ T ite_,2 ei yr dt = [-~ e-12 eiy1Jr _ l'_ [T e_,2 ei ytdt,
1-r
2
- T
21-r
d'où, en faisant tendre T vers +oo :
Vy E lR, f' (y) = -~ f(y).
Par résolution d'équation différentielle, il existe À E C tel que :
y2
Vy E lR, f (y) = Àe - 4.
Et: À = f (0) = {+oo e- 12 dt = .jii.
}_oo
On obtient:
Remarques:
1) En remplaçant x par 0 et, en prenant la partie réelle, et par
parité, on déduit :
2
r +oo e- 12 cos y t dt = fi e -f.
lo
2
Vy E JR,
Puis, par le changement de variable u = t 2 :
V y E lR,
lo
+oo e- 11 cos(yJu)
fi _i_
Ju
du= -
e 4.
0
4
2) En remplaçant y par 0, et par le changement de variable
u = -t, on déduit:
Vx E JR, lo+oo e-t
2 ch 2xt dt
= -
e- 1 e 2 xt dt+ -
e- u e 2 xu du
1 lo+oo
2
.
1 lo+oo
2
2 0
2 0
= -
e1 e2.x
1
dt = -.jiie 4 = - ex ,
1 l +oo
2
l
(2.x)2
fi 2
2 - OO
2
2
résultat obtenu dans l'exercice 3.5.9 b).
a)• Six < -1, alors f (x) n'est pas défini.
•Six > -1, alors t 1------+ ln(l +x sin 2 t) est continue sur
[ O; ~ J , donc f (x) existe.
7r
• Si x = -1, par changement de variable u = 2" - t :
ln(l +x sin 2 t) = 2 ln(sinu) ,.__, 2 lnu < O.
u->0
Comme u 1------+ ln u est intégrable sur Jo; ~ J, on en déduit que
t 1------+ ln(l + x sin 2 t) est intégrable sur [ O; ~ [ ,et donc f (x)
existe.
Réponse : Def(f) = [ -1; +oo[ .
b)Notons F: [-1 ; +oo[x [o; ~[----+ JR.
(x ,t)t--+ ln(I +x sin
2 t)
•Pour tout x E [ -1 ; +oo[, F (x ,.) est intégrable sur [ 0 ; ~ [.
oF
sin
2 t
• -
: (x, t) 1------+
. 2
est définie sur
OX
] +X Stn t
[ -1 ; +oo[ x [ 0 ; ~ [ , continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t.
• ° F vérifie HD locale sur] - l; +oo[ x [o; ~ [ car, pour tout
ax
2
a de] - l; +oo[ , en notant
tt--+-I +a
V(x,t) E [a; +oo[ x [ 0; ~ [ , 1 ~: (x,t)I ~
• f est continue sur [-1; +oo[
oF
• Pour tout x de ] - 1; +oo[, ~ (x, ·) est intégrable sur
• f est de classe C 1 sur] - 1; +oo[ et :
,
lo !f
sin
2 t
Vx E] - l ; +oo[, f (x) =
. 2
dt.
0 1 + xsm t
On a, pour tout x de] - l; +oo[-{O} :
lo
+oo
u2
f'(x) =
du
u=tanr o (1 + u2)(1 + (x + l)u2)
1 r+oo (
1
1
)
= ~ Jo
1 + u 2 - 1 + (x + l)u 2 du
1 [
1
]+oo
= - Arctan u - t.:""0"1 Arctan ( v'x+î u)
X
.yX +)
0
) (
l
)7r
7r
= ~
1
- v'x + 1 2 = 2v'X+î(l + Jx+T) ·
"
1
lo2 2 7r
Et : f (0) =
sin t dt = -.
0
4
Ainsi:
Vx E] - 1; +oo[, f'(x) =
n
.
2Jx+î(l + Jx+T)
1 601
0
c
::J
0
(V)
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0
N
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• L'application f: lR ----+ lR
est de classe C 1 sur lR
yt--+J+oo e-12+iy1dt
- OO
et:
r +oo
2 .
V y E lR, J'(y) = ] _
00
ite1 +iyt dt.
Une intégration par partie donne, pour y E lR et T E [O; +oo[ :
[ T ite_,2 ei yr dt = [-~ e-12 eiy1Jr _ l'_ [T e_,2 ei ytdt,
1-r
2
- T
21-r
d'où, en faisant tendre T vers +oo :
Vy E lR, f' (y) = -~ f(y).
Par résolution d'équation différentielle, il existe À E C tel que :
y2
Vy E lR, f (y) = Àe - 4.
Et: À = f (0) = {+oo e- 12 dt = .jii.
}_oo
On obtient:
Remarques:
1) En remplaçant x par 0 et, en prenant la partie réelle, et par
parité, on déduit :
2
r +oo e- 12 cos y t dt = fi e -f.
lo
2
Vy E JR,
Puis, par le changement de variable u = t 2 :
V y E lR,
lo
+oo e- 11 cos(yJu)
fi _i_
Ju
du= -
e 4.
0
4
2) En remplaçant y par 0, et par le changement de variable
u = -t, on déduit:
Vx E JR, lo+oo e-t
2 ch 2xt dt
= -
e- 1 e 2 xt dt+ -
e- u e 2 xu du
1 lo+oo
2
.
1 lo+oo
2
2 0
2 0
= -
e1 e2.x
1
dt = -.jiie 4 = - ex ,
1 l +oo
2
l
(2.x)2
fi 2
2 - OO
2
2
résultat obtenu dans l'exercice 3.5.9 b).
a)• Six < -1, alors f (x) n'est pas défini.
•Six > -1, alors t 1------+ ln(l +x sin 2 t) est continue sur
[ O; ~ J , donc f (x) existe.
7r
• Si x = -1, par changement de variable u = 2" - t :
ln(l +x sin 2 t) = 2 ln(sinu) ,.__, 2 lnu < O.
u->0
Comme u 1------+ ln u est intégrable sur Jo; ~ J, on en déduit que
t 1------+ ln(l + x sin 2 t) est intégrable sur [ O; ~ [ ,et donc f (x)
existe.
Réponse : Def(f) = [ -1; +oo[ .
b)Notons F: [-1 ; +oo[x [o; ~[----+ JR.
(x ,t)t--+ ln(I +x sin
2 t)
•Pour tout x E [ -1 ; +oo[, F (x ,.) est intégrable sur [ 0 ; ~ [.
oF
sin
2 t
• -
: (x, t) 1------+
. 2
est définie sur
OX
] +X Stn t
[ -1 ; +oo[ x [ 0 ; ~ [ , continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t.
• ° F vérifie HD locale sur] - l; +oo[ x [o; ~ [ car, pour tout
ax
2
a de] - l; +oo[ , en notant
tt--+-I +a
V(x,t) E [a; +oo[ x [ 0; ~ [ , 1 ~: (x,t)I ~
• f est continue sur [-1; +oo[
oF
• Pour tout x de ] - 1; +oo[, ~ (x, ·) est intégrable sur
• f est de classe C 1 sur] - 1; +oo[ et :
,
lo !f
sin
2 t
Vx E] - l ; +oo[, f (x) =
. 2
dt.
0 1 + xsm t
On a, pour tout x de] - l; +oo[-{O} :
lo
+oo
u2
f'(x) =
du
u=tanr o (1 + u2)(1 + (x + l)u2)
1 r+oo (
1
1
)
= ~ Jo
1 + u 2 - 1 + (x + l)u 2 du
1 [
1
]+oo
= - Arctan u - t.:""0"1 Arctan ( v'x+î u)
X
.yX +)
0
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l
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7r
= ~
1
- v'x + 1 2 = 2v'X+î(l + Jx+T) ·
"
1
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Et : f (0) =
sin t dt = -.
0
4
Ainsi:
Vx E] - 1; +oo[, f'(x) =
n
.
2Jx+î(l + Jx+T)
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