) 1
~ l~O)I ( 11
1
f1100 1
1
11 '1),
d'où N ( f) ::::: f3N (f) où f3 = 1 + 2 111> 1 loo .
~
rp
,
l(0)1
•Les propriétés N'oo () .. f) = IÀIN'oo CJ)
et N'oo (f + g) ~ N'oo (f) + N'oo (g) sont immédiates.
Soit f E E telle que N'oo CJ) = 0 ; alors f ' = 0, donc f est
constante, puis f = 0, puisque f (0) = 0.
!,,
2
1
0
-
-
n
n
•Considérer, pour n E N tel que n ~ 2 , fn : [O; 1] -----+ IR définie par:
Stn
-
1
. 2 (rrnt)
fn (t) =
O
2
.
2
SI 0 ~ t ~ -
n
,2
SI - < t ~ l
n
Vérifierfn E EetmontrerN 00 Cfn) = l,N'ooCfn) = rr
2
n , d'où
N'oo Cfn)
+
- - - -----+
OO.
N 00 Cfn) noo
On peut aussi considérer fn
[O; l] -----+ IR , n ~ 1 .
t t--* t"
•Les propriétés vk{Àf) = IÀlvk(f),
vk(f + g) ~ VkCf) + vk(g ) sont immédiates.
Soit f E E telle que vk (f) = O.
Alors f (0) = ... = J déduire, de proche en proche, t 1
• 1) En appliquant l'inégalité des accroissements finis àf(k)
sur [O; x], on obtient :
lt te [O;x]
~ Sup lf(k+ ll (u) I,
ue [O; l]
d'où Sup IJ (x) I ~ lf (k)(O) I + Sup IJ 1
>(x) I,
xE[O: I]
xE(O: 1]
2) Considérer, pour tout n de N, fn : [O; 1] -----+ IR , qui est
t 1--+ tn+p
dans E. Montrer :
'v'(n ,k) EN X {0, ... , p - l},
(n + p)!
VkCfn)= (n+p-k)! '
Réponse : v 0 , . .. , vp sont deux à deux non équivalentes.
A n B = 0 ===} A c CE(B)
0
0
,......._
===} A c CE(B) = Ce(B) = 0 .
Soient x E E et V E Ve (x) ; il existe un ouvert Q de Etel que :
x E Q c V. Puisque A est dense dans E, on a: Q n A =f. 0 ,
et il existe donc y E Q n A. Comme Q et A sont des ouverts
de E : Q n A E Ve(y) , puis, comme B est dense dans E :
(Q n A) n B =f. 0 . Ainsi :
'v'V E Ve(x) , V n (A n B) =f. 0,
et finalement A n B est dense dans E.
Réponse: A= [O; 1], B = [1 ; 2] U {3}.
Réponse: A = [O; 1 [U]l; 2] U ([3 ; 4] n Q ) U {5}.
{
1
1
}
En notant An= - - + - ; x E IRi
pour n E N* ,
X + n
2"
remarquer A = - · - + -
et - ::::: - - + - -
]
l 1
l [
1
1
1
n
2" ' n
2"
2" ~ n + 1 2n+ l '
d'où A = ] 0; ~ [.
Réponse:A= Jo;~[, A= Jo;~[, A=[o; ~J.