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9.4 • Fonctions implicites
Exercices
9.3.1 Former le DL2(l,O) def: (x,y) 1----+ x Y.
h) IR2,
x 2 + y 2 - 2x +4
x2 + y2 + 2x +4
x2
9.3.2 Déterminer les extremums locaux et globaux des
applications f suivantes, pour lesquelles on donne l'ensemble de départ et l'image f(x,y) ou f(x,y ,z) de (x ,y)
ou (x,y,z):
2
+xyz+ y-z.
9.3.3 Soit f : [O; 1] 2 ----+ IR définie par:
xy(l - x)(l - y)
a) IR2, y2 - 3x2y + 2x4
1
1
b) (IR*) 2 , 4xy + - + -
X
y
f(x,y) =
1
si (x ,y) =f. (1 , 1),
-xy
f(l , 1)=0.
c) IR2, ci - x2)(y2 - 2x2)
a) Montrer que f est continue sur [0; 1] 2 .
d) IR 2 , x 3 + y 3 - 9xy + 27
b) Déterminer
Sup
f(x ,y).
(x,y)e[O; 1]2
e) IR2, (x + y)2 _ (x4 + y4)
f) (IR+) 2 , xln y - ylnx
9.3.4
Pour n E N - {O, l}, déterminer les extremums
globaux de f : (IR+)'
1 ----+ IR définie par :
g) (IR+ )2,
1 2 2
1
1
-x y - Àxy+- +-, À > Ofixé
2
X
y
9.4 Fonctions implicites
f est une fonction de p + n variables
etf est à valeurs dans IR".
La conclusion du théorème des
fonctions implicites peut s'exprimer
brièvement sous la forme :
x p+ 1,. .. ,x p+n sont, au voisinage de
A, fonctions implicites de classe C
1 de
x 1 ,. . . ,Xp , à partir de l'égalité:
f (x1,. .. ,x 1 ,,x,,+ 1,. .. ,X11) =O.
On admet le théorème suivant.
Théorème des fonctions implicites
Soient p,n EN*, V un ouvert de JRP x !Rn, A = (a ,b) E U,f : V -----+ !Rn une application,/1,. .. Jn les composantes def:
V x EV , f(x) = (/1 (x), ... Jn(x)) .
On suppose:
• f est de classe C 1 sur V
{
• f(A) = 0
• ((~)(A)) E GLn(IR) .
axp+J
..
1 ~ 1 . 1 ~n
Alors il existe un voisinage ouvert v de a dans JRP, et un voisinage ouvert w de b
dans !Rn tels que :
l
. V X w c V
• Il existe une application unique

•

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