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u
526
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Exercices
9.2.1 Soit ! : IR 3 - {(0,0,0)} ~ IR définie par:
f(x ,y,z) = Arctan( (x 2 + y 2 + z2) ! ).
Montrer que f est de classe c 2 sur IR 3 et calculer
!" x2 f"
. x y
!" x z
!" y x !" y2 !" y z
!" zx f"
. zy
f"
. z2
Pour les exercices 9.2.2 à 9.2.4, rappelons (cf. Analyse
MPSI, 11.6.1 Définition et exercice 11.6.2) que, pour
f: U ~ IR de classe c 2 sur un ouvert U de IRP, on
appelle laplacien de f, et on note !:!.f, l'application
!:!.f : U ~ IR définie par :
P a 2 f
!:!.f = 2:-2 ;
j= l axj
on dit que f est ham1onique sur U si et seulement si f est
de classe c 2 sur u et !:!.f = 0.
9.2.2 Soient n E N - (0, 1}, A = (a;j)ij E M,,(IR) telle
que:
V (i , j ) E {l , ... , n} 2 , (i =/: j ===? { Gij +aj; =
0
) '
a;; = ajj
U un ouvert de IR", f : U ~ IR de classe C 3 sur U et
" ( "
) af
harmonique sur U, F = z= .
z= a;jXj ax·.
i = l j = l
1
Vérifier que Fest harmonique sur U.
Exemples
n
af
:/)F =Lx; -
. 1 ax;
I=
af
af
2)n=2,F=x-- y - .
ay ax
9.2.3 Soient n E N - {O, 1} , U un ouvert de IR" ,
f:U~ IR.
a) On suppose f de classe C 3 et harmonique.
M
~ af
h
.
< f
.
.
o ntrer que L..., x; ~ est armomque c . aussi exercice
i = l
x,
9.2.2).
b) On suppose f de classe c 4 et harmonique, et on note
n
R = L xl. Montrer que !:!.(Rf) est harmonique.
i = l
9.2.4
Déterminer
toutes
les
applications

(
x2 + y2 )
f: (x ,y ,z) ~ 22
soit harmonique sur
U = {(x,y,z) E IR 3 ; x 2 + y2 =/: 0 et z =/: 0}.
9.2.5 Soit f : IR 2 ~ IR définie par :
l
y4
f (x,y) = x2; y2
SI (x ,y) =/: (Ü,Ü)
si (x ,y) = (0,0)
a) Montrer que f est de classe C 1 sur IR 2 .
b) Montrer que J;~ (O, O) etf; x (0,0) existent et sont égales.
c) Montrer que J;~ et f ;x ne sont pas continues en (0,0).
9.2.6 Déterminer la classe exacte des applications
f : IR 2 ~ IR suivantes:
l
(x2 _ y2)2
:1 } f (x,y) = x2 ; y2
si (x,y) =/: (0,0)
si (x ,y) = (0,0)
si (x ,y) =/: (0,0)
si (x,y) = (0,0)
si (x,y) =/: (0,0)
si (x,y) = (0,0)
d) f(x ,y) = x 1
! 4 soin _ !l
où 9.2.7 Montrer que:
f : IR2 ~ IR e x - e Y
(x, y) ~ 1 X - Y
e x
est de classe C
00 sur IR 2 .
si X =/: y
Si X = y
si t =/: 0
si t = 0
9.2.8 Etudier la classe de f :] - ::_; ::_ [ 2 ~ IR définie
.
2 2
par:
f(x,y) ~ l
sin x - sin y
tan x - tan y
cos
3 x
si X =/: y
si X= y