9.1 • Dérivées partielles premières
Les méthodes à retenir
Limite et continuité pour les fonctions de plusieurs variables (Révision de MPSI)
• Pour étudier l'existence et la valeur éventuelle d'une limite pour une fonction f en un point, (0,0) par
exemple, en lequel les théorèmes généraux ne s'appliquent pas (ex. 9.0.1, 9.0.3), envisager d 'abord les applications partiellesf(.,0) etf(O,.). Si l'une de ces deux applications partielles n'a pas de lintite en 0, ou si ces deux
applications partielles ont des limites différentes, alorsfn'a pas de limite en (0,0) . Sif(.,0) etf(O,.) admettent
une même lintite finie e en 0, envisager des fonctions composées du type x f----* f (x ,x) , x f----* f (x ,Àx), À E IR,
ou plus compliquées en tenant compte de l'exemple proposé. Si ces diverses fonctions (d'une variable) ont encore la même limite e en 0, on peut essayer d' établir quef admet e pour limite en (0,0) en formant lf(x,y) - li et
en essayant de majorer cette expression par une expression plus simple et de limite 0 quand (x,y) tend vers (0,0).
À cet effet, il peut être parfois intéressant de faire un changement de variable, par exemple en coordonnées
polaires.
• Pour étudier la continuité d'une fonction/ de deux variables réelles x ,y dans laquelle l'expression donnée
def(x ,y) n'est pas la même selon la position (x ,y) (ex. 9.0.2), examiner d' abord les points au voisinage desquels l'expression de f (x , y) est la même, en appliquant les théorèmes généraux. Ensuite, pour un point litigieux,
noté (xo , yo) par exemple, examiner le comportement de f (x , y) lorsque le couple (x , y) tend vers le couple
(xo ,Yo).
• Pour montrer qu'une fonction d ' une ou plusieurs variables réelles est continue, essayer d'abord d'appliquer
les théorèmes généraux (ex. 9.0.4).
Exercices de révision sur limites, continuité pour les fonctions de plusieurs variables réelles (cf. Analyse MPSI,
11.2).
9.0.1 Etudier l'existence et la valeur éventuelle d'une limite en (0,0) pour les fonctions f suivantes, pour lesquelles
on donne f (x ,y) :
x3 + y3
a) --,,.----,.
x2 + y4
x3y2
b) ~---,.
x6 + y4
x4y3
c)
x6 + y8
(x2 - y)(y2 - x)
d) - - - - -
x+y
1 -cos~
e)
lyl
Jx2 + y2
f)
/î::ï
/f::ï .
lxlv IYI + IYlv lx l
9.0.2 Déterminer l'ensemble de continuité des applications f : JR 2 ---+ lR suivantes :
. 1
. 1
1
X Sin - + y Sin -
a) f(x,y) =
y
x
0
SI XY =/= 0
si xy = 0
si lxl ~ IYI
{
x2
b) f(x ,y) = y2
si lxl > IYI
si IYI < x
2
si IYI ~ x
2 .
.
x3 + y3 _ u3 _ v3
9.0.3 Lafonct1on .f:(x,y,u,v)1--+ 2
2
2
2
X +y -U - V
a-t-elle une limite e n (0,0 ,0,0)?
9.0.4 Soient.f,g : lR---+ lR et F:
JR 2 ---+ lR
(x ,y)r--> f (x)+g(y)
Montrer que F est continue sur JR 2 si et seulement si f et
g sont continues sur lR .
9.0.5 L'application
f: JR2---+ JR2, (x,y) 1--+ (x +y , 2x + y 3)
est-elle injective ? surjective ?
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