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480
Chapitre 8 • Équations différentielles
Solution
a) D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, il existe une solution u et
une seule de (EQ) telle que u(a) = 0 et u'(a) = 1, et il existe une solution v et une
seule de (EQ) telle que v (b) = 0 et v' (b) = 1.
Ceci montre l'existence et l'unicité d'un couple (u , v) de solutions de (Eo) tel que:
u(a) = v(b) = 0 et u'(a) = v'(b) = 1.
b) Puisque (u, v) est libre, d'après le Cours, il existe des applications
À,µ : [a; b] ----+ IR de classe C
1 telles que l'ensemble S des solutions de (E) vérifie :
S = {Àu + µv +Au+ Bv; (A,B) E IR
2
}.
On a alors, en notant y = Àu + µv +Au + Bv la solution générale de (E), et en
tenant compte des conditions sur u , v :
1
y(a) =a <===} 1 (µ(a)+ B)v(a) =a
y(b) = f3
(À(b) + A)u(b) = {3.
Pour établir v(a) -=f. 0, raisonnons par l'absurde : supposons v(a) =O.
En notant z = v'(a)u , on a alors: z(a) = v'(a)u(a) = 0
(
z" - fz = 0
z'(a) = v' (a)u' (a) = v'(a),
donc v et z sont solutions du même problème de Cauchy linéaire, donc, d'après le
théorème de Cauchy linéaire, v = z, c'est-à-dire v = v'(a)u.
Ceci montre que (u, v) est liée, contradiction.
Ce raisonnement par l'absurde montre v(a) # 0, et, de même, v(b) #O.
On a alors, avec les notations utilisées plus haut :
1
y(a) =a
( B = -µ(a)+ v~a)
y(b) = f3 <===} A = -À(b) + _.!!._
u(b) '
ce qui montre qu'il existe une solution et une seule y de (E) telle que :
y(a) =a et y(b) = {3.
8.4.2 Résolution de (Eo)
1) Cas où on connaît une base de S 0
Conseils
Existence et unicité d'une solution du problème de Cauchy
(Eo), y(a) = 0, y' (a) = 1,
existence et unicité d'une solution du problème de Cauchy
(Eo), y(b) = 0, y' (b) = 1.
Méthode de variation des constantes.
Pour montrer l'existence et l'unicité de y,
c'est-à-dire de (A, 8), il suffit de montrer:
v(a) =f. 0 et v(b) =f. O.
z et v sont solutions du même problème
de Cauchy linéaire:
y" - fy = 0, y(a) = 0, y' (a) = v' (a).
Puisque So est un lK-ev de dimension 2, si on connaît une famille libre (x 1 ,x2) formée
de deux éléments de S 0 , alors S 0 = {À 1 x 1 + À.2x 2 ; (À 1 ,À 2 ) E JK
2 } .
Recherche du degré d'une éventuelle
solution polynomiale.
Exemple:
Résoudre l'ED (Eo)
Il
2t
1
2
x - - - x + - - x = 0 d'inconnue x : IR ----+ R
l + ,2 1 + ,2
Il est plus commode d'écrire (Eo) sous la forme équivalente: (1 + t 2 )x
11
- 2tx' + 2x =O.
Voyons s'il existe une solution polynomiale (autre que 0). En notant alors n le degré de x,
x(t) =an tn+ ... +ao où an EIK*,a 11 _1, ... ,aoE IK, les termes de degré > n de
(1 + t 2 )x" - 2tx' + 2x sont nuls et le coefficient du terme de degré n est
(n(n - 1) - 2n + 2)an, d'où n 2 - 3n + 2 = 0, et donc n E {1 ,2).