Exemple de résolution d'un problème de Cauchy
1
y' = y2 COS
2 X
Résoudre (C)
1
d'inconnue y : IR -------* IR dérivable.
y(O) = 3
Solution
1) Recherche des solutions de (C) ne s'annulant en aucun point
Soit y : IR -------* IR dérivable, telle que : V x E IR, y(x) -:j:. O.
On a:
Et:
'Vx E IR, y'(x) = (y(x))
2 cosx
y'(x)
{::::::} V X E IR, - - - 2 = cosx
(y(x))
{::::::} 3 C E IR, 'V x E IR,
{::::::} 3 C E IR, 'V x E IR,
1
y (0) = 3 {::::::}
1
c
1
.
- - - = smx +c
y(x)
1
y(x) = -
.
.
c+ smx
1
3 {::::::} c = - 3 .
1
Ceci montre que l'application y : IR-------* IR, x 1--+ y(x) =
. est solution
3 - srnx
de (C) sur R
2) Puisque l'application (x ,y) 1--+ y
2 cosx est de classe C
1 sur l'ouvert IR X IR,
d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz, le problème de Cauchy (C) admet une
solution maximale et une seule.
L'application y obtenue en 1) est solution de (C) sur IR, donc est nécessairement
solution maximale de (C).
Finalement, (C) admet une solution et une seule :
1
y : IR-------* IR, x 1--+ y(x) =
. .
3- smx
Les méthodes à retenir
8.2 · Le théorème de Cauchy-Lipschitz
Conseils
On suppose que y ne s'annule pas, pour
pouvoir diviser par la fonction y.
Dans 1), nous allons expliciter une solution
de (C).
1
(
1 ) '
On remarque: ~ 2 = - Y .
On peut contrôler, par calcul direct, que y
est bien solution de (C).
Dans 2), nous allons montrer que (C) admet
au plus une solution.
y est définie sur JR, donc ne peut être prolongée.
Synthèse des deux points précédents.
Généralités sur les équations différentielles, théorème de Cauchy-Lipschitz
• Pour étudier qualitativement les solutions d'une équation différentielle ou les solutions d'un problème de
Cauchy, on pourra utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz(§ 3) p. 437) et l'étude du comportement d' une solution maximale au voisinage d'une extrémité de son intervalle de définition(§ 4) a) p. 437 (ex. 8.2.1 à 8.2.3).
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