\j Raisonnement par l'absurde.
-0
O
h YcJJ Raisonnement par l'absurde.
8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
y
\
La situation du point (xo,Yo) par rapport aux
droites d'équations x = 1, y = 1 du (quart de)
plan des phases permet de connaître un vecteur
tangent à l'orbite en ce point.
11----____, _ _ _ _ _ _ _
Autrement dit, on peut schématiser, à l'aide de
flèches, le champ vectoriel F.
Soit (xo,Yo) E]O; +oo[ 2 .
0
\
X
Représentation du champ F
Supposons, par exemple xo > 1 et YO > 1, et notons (x,y) la solution maximale du problème
de Cauchy en (xo ,Jo) , et l son intervalle de définition, qui est donc ouvert.
Notons t1 l'extrémité droite de l Ui E]to; +oo[).
1) Nous allons montrer que l'orbite de (x ,y) traverse la droite d'équation y = 1. À cet effet, raisonnons par l'absurde ; supposons :
Vt E [to; t1 [,
{
x(t) ? 1
y(t) ::::;; 1.
{
x'(t) = x(t)(l - y(t)) ? 01
.
Alors : Vt E [to, t1 [,
y' (t) = (x(t) _ l) y(t) ? 0
, donc x et y sont croissantes sur [to ; t1 [.
Il en résulte que x admet une limite ÀJ (À J E [xo ; +oo]) en t1 , et que y admet une limite f.LI
(f.L1 E [yo; l]) en 1 1 .
Montrons : t1 -:j:. +oo.
On a: Vt E [to ; t1 [, y'(t) = (x(t) - l )y(t) ~ (xo - l) y(t).
En notant z: t r-----+ y(t)e-
et donc Vt E [to; ti [, z(t) ~ z(to),
c'est-à-dire: Vt E [to ; t1L y(t) ~ z(to)e
on obtient :
ln z(to)
Vt E [to; t1 [, t ::::;; - - -, et donc t1 =f. +oo.
x o - 1
Si À 1 -:j:. +oo , on peut compléter x et y par continuité en t1 (en posant x(t1 ) =À J , y(t1) = f.LJ),
et alors x' et y' admettent des limites finies en t1 (respectivement : À 1 (1 - µ 1) et (À 1 - 1) µ 1) ;
ceci contredit la maximalité de (x,y) .
Donc: ÀI = +oo.
Mais alors y' = (x - 1) y ------+ + oo , d'où, classiquement, y ------+ + oo, contradiction.
' Ï
11
Ceci montre que l'orbite de (x ,y) traverse la droite d'équation y = 1.
Un raisonnement analogue dans les autres zones de U permet de conclure à l'allure suivante des
orbites, parcourues en un temps fini :
y
y
y
0
0
0
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h YcJJ Raisonnement par l'absurde.
8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
y
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La situation du point (xo,Yo) par rapport aux
droites d'équations x = 1, y = 1 du (quart de)
plan des phases permet de connaître un vecteur
tangent à l'orbite en ce point.
11----____, _ _ _ _ _ _ _
Autrement dit, on peut schématiser, à l'aide de
flèches, le champ vectoriel F.
Soit (xo,Yo) E]O; +oo[ 2 .
0
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X
Représentation du champ F
Supposons, par exemple xo > 1 et YO > 1, et notons (x,y) la solution maximale du problème
de Cauchy en (xo ,Jo) , et l son intervalle de définition, qui est donc ouvert.
Notons t1 l'extrémité droite de l Ui E]to; +oo[).
1) Nous allons montrer que l'orbite de (x ,y) traverse la droite d'équation y = 1. À cet effet, raisonnons par l'absurde ; supposons :
Vt E [to; t1 [,
{
x(t) ? 1
y(t) ::::;; 1.
{
x'(t) = x(t)(l - y(t)) ? 01
.
Alors : Vt E [to, t1 [,
y' (t) = (x(t) _ l) y(t) ? 0
, donc x et y sont croissantes sur [to ; t1 [.
Il en résulte que x admet une limite ÀJ (À J E [xo ; +oo]) en t1 , et que y admet une limite f.LI
(f.L1 E [yo; l]) en 1 1 .
Montrons : t1 -:j:. +oo.
On a: Vt E [to ; t1 [, y'(t) = (x(t) - l )y(t) ~ (xo - l) y(t).
En notant z: t r-----+ y(t)e-
et donc Vt E [to; ti [, z(t) ~ z(to),
c'est-à-dire: Vt E [to ; t1L y(t) ~ z(to)e
on obtient :
ln z(to)
Vt E [to; t1 [, t ::::;; - - -, et donc t1 =f. +oo.
x o - 1
Si À 1 -:j:. +oo , on peut compléter x et y par continuité en t1 (en posant x(t1 ) =À J , y(t1) = f.LJ),
et alors x' et y' admettent des limites finies en t1 (respectivement : À 1 (1 - µ 1) et (À 1 - 1) µ 1) ;
ceci contredit la maximalité de (x,y) .
Donc: ÀI = +oo.
Mais alors y' = (x - 1) y ------+ + oo , d'où, classiquement, y ------+ + oo, contradiction.
' Ï
11
Ceci montre que l'orbite de (x ,y) traverse la droite d'équation y = 1.
Un raisonnement analogue dans les autres zones de U permet de conclure à l'allure suivante des
orbites, parcourues en un temps fini :
y
y
y
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