Chapitre 7 • Séries de Fourier
Séparation des termes d'indices pairs et
des termes d'indices impairs.
Séparation des termes d'indices pairs et
des termes d'indices impairs.
En reva nche, le calcul de
+oo ( - J)P
~ ( 2
p + l) 2 semble inaccess ible par les méthodes de ce
chapitre.
'J Dent de scie continue.
'
-
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Ne pas oublier de supposer n =P 0 si on
veut diviser par n.
\JJ Développement en série de Fourier de f
424
2 N+ l l
N
l
N
1
Comme : 'v'N EN* , L 2 = L - - 2 + L
2
n=l n
p= l (2p)
p=O (2p + 1)
1
et que L 2 ,
n;;. l n
1
L: < 2 )2 '
p;;. 1 p
1
'""'
convergent, on déduit :
L (2p + 1)2
p;;.O
+oo 1
+oo 1
+oo
1
1 +oo 1
7l' 2
L n2 = L (2p)2+ L (2p+1)2 = 4 L µ2 + 8' d'où:
11 = 1
p = l
p=O
p= l
Enfin,
Exemple 2 : Soit f : R ---7 C 2rr-périodique, paire, telle que : 'v't E [0: rr l, f (t) = t.
y
y=f(t)
/
•Il est clair que f E CM2rr· Comme f est paire, on a: 'v'n E N* , b 11 = 0, et:
'v'n E N,
2 i
2 lol f
a 11 = -
f(t) cosnwt dt = -
t cosnt dt.
T [T]
rr 0
Si n ~ 1, alors, par une intégration par parties :
an=~ ([t sinnt] rr _ { n sin nt dt)= 2_ [cosnt ] rr = 2((-1)
11
- J).
rr
n
o Jo n
rrn
n
o
rrn2
Et ao = ~ r t dt = rr .
rr lo
Ainsi:
1
ao = rr
'v'p E N,
et 'v' p E N*, azp = 0
4
azp+l = - rr(2p + 1)2
• Puisque f E D2rr et que f est de classe C 1 par morceaux sur IR , on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 p. 420) ; on conclut que la série de Fourier (réelle) de f conve rge
simplement sur IR et a pour somme f. D'où :
Vt E IR,
7l'
+oo
4
f (t) = - - L
2
cos(2p + l )t.
2 r=O rr(2p + 1)