"'O
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
366
Chapitre 6 • Séries entières
6.1.3 a) Montrer que la suite (sin (n 2 )),,eN ne converge
pas vers O. On poura raisonner par l'absurde, considérer la
suite extraite ( sin ((n + 1 )2)) 11 eN, et utiliser Analyse MPSI,
exercice 3.1.10.
b) En déduire le rayon de L sin (n
2 )z".
n;:,O
6.1.4 Pour (a,b ,c) E (N*) 3 , déterminer le rayon de
' °"' (an)! z" . On pourra utiliser la formule de Stirling :
~ (bn)!nrn
11;:, J
n! ,...., ( ~ )
11 ~. cf.4.3.74) Th.
1100 e
6.1.5 a) Déternùner Je rayon de L CYp(n)z" , où CYp(n) est
11;:, I
la somme des puissances imes (p E N* fi xé) des diviseurs ~ 1 den.
b) Déterminer le rayon de L cp (n )z", où cp est l'indicateur
n;:, I
d'Euler, c'est-à-dire
cp(n) = Card {m E {l , . .. ,n) ; pgcd(m,n) = 1).
6.1.6 Soit L a,, z" une série entière, de rayon noté R .
n;:,O
Montrer que, s'il existe zo E C tel que L a,, z 0 soit semjn;:,O
convergente, alors R = lzo l6.1. 7 Soient L a,, z" une série entière, de rayon noté R , et
n;:,O
À E C*. Quel est le rayon de la série entière L À"a,,z" ?
11;:.0
6.1.8 Soient L a11z" une série entière, de rayon noté R ,
n;:,O
et p E IR'f-. Quel est le rayon R' de L la,, IP z
11 ?
n;:,O
6.1.9 Soient (an.) 11 ;:, J E cN• eta E] - oo; l[. Montrer que
les séries entières L a, , z" et L a,, e
11
a z" ont le même
n;:, 1
n;:, 1
rayon.
6.1.10 Soient L a,,z" une série entière, de rayon noté R ,
n;:,O
et (u,,),,;:.o une suite dans C* telle que 1 u
11 +
1 1----+ f, E IR+.
u 11
noo
Que dire du rayon de L:u 11 a 11 z"?
11 ;:,0
6.1.11 Soit (a,, ),,;:. 1 E c N*. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivale ntes :
(i) ~ = 0 (~)
noo n
(ii) Le rayon de L n!a,,z" est > O.
n;:, 1
On pourra utiliser la formule de Stirling :
n! ,...., ( ~)n ~, cf. 4 .3.7 4) Th.
noo e
6.1.12 Soient L anz",
11 ;:,0
Vn EN,
Lbnz"
n;:,O
b11 E IR~
Lb11 diverge
,, ~ o
deux séries entières
telles que :
L bn z" est de rayon 1
Démontrer:
11 ~0
a"
- -----+ f, E C .
bll 1100
+ oo
L: a11x
11
11 =0
- - - ----+ e.
+ oo
L:b,,x"
11=0
x~ l
xelR
6.1.13 Soient L a,, z
11
,
n;:,O
L bnZ
11
n;:,O
telles que :
Démontrer:
1
V n EN, b,, E IR~
L b 11 z
11
est de rayon
n ~O
(/Il
----+ fEC.
bll 1100
+ oo
L: a11x
11
11 =0
- - - ----+ f,.
+oo
x- +oo
L b,,x" x elR:
n=O
deux séries entières
+oo
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
366
Chapitre 6 • Séries entières
6.1.3 a) Montrer que la suite (sin (n 2 )),,eN ne converge
pas vers O. On poura raisonner par l'absurde, considérer la
suite extraite ( sin ((n + 1 )2)) 11 eN, et utiliser Analyse MPSI,
exercice 3.1.10.
b) En déduire le rayon de L sin (n
2 )z".
n;:,O
6.1.4 Pour (a,b ,c) E (N*) 3 , déterminer le rayon de
' °"' (an)! z" . On pourra utiliser la formule de Stirling :
~ (bn)!nrn
11;:, J
n! ,...., ( ~ )
11 ~. cf.4.3.74) Th.
1100 e
6.1.5 a) Déternùner Je rayon de L CYp(n)z" , où CYp(n) est
11;:, I
la somme des puissances imes (p E N* fi xé) des diviseurs ~ 1 den.
b) Déterminer le rayon de L cp (n )z", où cp est l'indicateur
n;:, I
d'Euler, c'est-à-dire
cp(n) = Card {m E {l , . .. ,n) ; pgcd(m,n) = 1).
6.1.6 Soit L a,, z" une série entière, de rayon noté R .
n;:,O
Montrer que, s'il existe zo E C tel que L a,, z 0 soit semjn;:,O
convergente, alors R = lzo l6.1. 7 Soient L a,, z" une série entière, de rayon noté R , et
n;:,O
À E C*. Quel est le rayon de la série entière L À"a,,z" ?
11;:.0
6.1.8 Soient L a11z" une série entière, de rayon noté R ,
n;:,O
et p E IR'f-. Quel est le rayon R' de L la,, IP z
11 ?
n;:,O
6.1.9 Soient (an.) 11 ;:, J E cN• eta E] - oo; l[. Montrer que
les séries entières L a, , z" et L a,, e
11
a z" ont le même
n;:, 1
n;:, 1
rayon.
6.1.10 Soient L a,,z" une série entière, de rayon noté R ,
n;:,O
et (u,,),,;:.o une suite dans C* telle que 1 u
11 +
1 1----+ f, E IR+.
u 11
noo
Que dire du rayon de L:u 11 a 11 z"?
11 ;:,0
6.1.11 Soit (a,, ),,;:. 1 E c N*. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivale ntes :
(i) ~ = 0 (~)
noo n
(ii) Le rayon de L n!a,,z" est > O.
n;:, 1
On pourra utiliser la formule de Stirling :
n! ,...., ( ~)n ~, cf. 4 .3.7 4) Th.
noo e
6.1.12 Soient L anz",
11 ;:,0
Vn EN,
Lbnz"
n;:,O
b11 E IR~
Lb11 diverge
,, ~ o
deux séries entières
telles que :
L bn z" est de rayon 1
Démontrer:
11 ~0
a"
- -----+ f, E C .
bll 1100
+ oo
L: a11x
11
11 =0
- - - ----+ e.
+ oo
L:b,,x"
11=0
x~ l
xelR
6.1.13 Soient L a,, z
11
,
n;:,O
L bnZ
11
n;:,O
telles que :
Démontrer:
1
V n EN, b,, E IR~
L b 11 z
11
est de rayon
n ~O
(/Il
----+ fEC.
bll 1100
+ oo
L: a11x
11
11 =0
- - - ----+ f,.
+oo
x- +oo
L b,,x" x elR:
n=O
deux séries entières
+oo