-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
.j,,,J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
336
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Le produit n(n-1) ... (n-k+ 1)
est nul pour k > n.
Preuve
Rappelons (cf. 4.3.3 2)) : Vt E JR,
Notons, pour n E N, fn : lR -----+ A
1~1.. 1 11 a 11
n!
+oc 1
exp(ta) = L - (ta)n.
n=O n!
• Il est clair que, pour tout n de N, fn est de classe coc sur IR , et que :
Vk EN, 'rit E IR, f,~k)(t) = n(n - l) ... ~n - k + l) t" - kan .
n.
• Pour tout k de N, la série L f~k) converge simplement sur IR et uniformément sur tout segment de IR
n;;,O
Dérivation terme à terme, sous les
hypothèses du théorème.
car, pout tout M de IR+ :
Vk EN, Vn EN, 'rit E [-M; M], llf,~k)(t) l l ~ n(n - l) ... ~n - k + l ) M n- k lla lln
n.
L
n (n - 1) ... (n - k + 1) n k n
et la série numérique
M - l la 11 converge.
n'
n ;;,O
.
D'après le Corollaire précédent, on en déduit que ea est de classe coc sur IR et :
+ oc n
+oc
1
+oc 1
Dea(t) = e~ (t) = L 1 t n-lan = L
f tn-lan = L ! tPaP+ l.
11=0 n.
n= l (n - l).
p=O p.
'rit E lR,
Enfin, comme x f----+ ax et x f----+ xa sont continues sur A :
On a pour tout N E N :
'rit E lR,
+oc 1
L - tPaP+ l = aea(t) = ea(t)a .
0
p!
N
]
N
)
L 1tPa P+ 1=aL 1(ta)P
p=O p.
p=O p .
p=
= (t ~(ta)P) a,
p=O p .
puis on fait tendre l'entier N vers l'infini.
Étude d'une fonction définie comme somme d'une série de fonctions
x"
On note, pour tout n E N* : f,, : [O; +oo[ -----+ lR, x f----+ J,,(x) =
2
•
n(x " + 1)
a) Montrer que la série d'applications L f,, converge simplement sur D = [O; 1 [ U] l; +oo[.
n ~ l
On note S la somme de cette série d'applications.
b) Montrer que S est de classe C
1 sur D et étudier le signe de S' (x) pour x E D.
c) Déterminer les limites de Sen l et en +oo.
d) Dresser le tableau de variations de Set tracer l'allure de la courbe représentative de S.
•
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
.j,,,J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
336
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Le produit n(n-1) ... (n-k+ 1)
est nul pour k > n.
Preuve
Rappelons (cf. 4.3.3 2)) : Vt E JR,
Notons, pour n E N, fn : lR -----+ A
1~1.. 1 11 a 11
n!
+oc 1
exp(ta) = L - (ta)n.
n=O n!
• Il est clair que, pour tout n de N, fn est de classe coc sur IR , et que :
Vk EN, 'rit E IR, f,~k)(t) = n(n - l) ... ~n - k + l) t" - kan .
n.
• Pour tout k de N, la série L f~k) converge simplement sur IR et uniformément sur tout segment de IR
n;;,O
Dérivation terme à terme, sous les
hypothèses du théorème.
car, pout tout M de IR+ :
Vk EN, Vn EN, 'rit E [-M; M], llf,~k)(t) l l ~ n(n - l) ... ~n - k + l ) M n- k lla lln
n.
L
n (n - 1) ... (n - k + 1) n k n
et la série numérique
M - l la 11 converge.
n'
n ;;,O
.
D'après le Corollaire précédent, on en déduit que ea est de classe coc sur IR et :
+ oc n
+oc
1
+oc 1
Dea(t) = e~ (t) = L 1 t n-lan = L
f tn-lan = L ! tPaP+ l.
11=0 n.
n= l (n - l).
p=O p.
'rit E lR,
Enfin, comme x f----+ ax et x f----+ xa sont continues sur A :
On a pour tout N E N :
'rit E lR,
+oc 1
L - tPaP+ l = aea(t) = ea(t)a .
0
p!
N
]
N
)
L 1tPa P+ 1=aL 1(ta)P
p=O p.
p=O p .
p=
= (t ~(ta)P) a,
p=O p .
puis on fait tendre l'entier N vers l'infini.
Étude d'une fonction définie comme somme d'une série de fonctions
x"
On note, pour tout n E N* : f,, : [O; +oo[ -----+ lR, x f----+ J,,(x) =
2
•
n(x " + 1)
a) Montrer que la série d'applications L f,, converge simplement sur D = [O; 1 [ U] l; +oo[.
n ~ l
On note S la somme de cette série d'applications.
b) Montrer que S est de classe C
1 sur D et étudier le signe de S' (x) pour x E D.
c) Déterminer les limites de Sen l et en +oo.
d) Dresser le tableau de variations de Set tracer l'allure de la courbe représentative de S.
•