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330
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
X
d) a) Montrer que, pour tout a de IR+, L fn converge
n
a) Etablir: Vx E]l; +oo[ , Ç(x) = - - - xl(x).
x-I
uniformément sur [O; a] .
/3) En déduire que S est continue sur IR+ .
/3) En déduire: (x - l)Ç(x) ~ 1.
x--> I+
5.3.22 Fonction de Van der Waerden
e) Déterminer l'ensemble des applications

telles que: Vx E IR+, f) Exprimer S lorsque g : IR+ -----+ IR.
Soit 'PO : IR -----+ IR l'application 1-périodique telle que:
x 1-----+ e-x
Vx E [0; l], 1-x
.
l
SI Ü :( X :( -
2
. 1
5.3.21 Fonction Ç de Riemann
Sl - :( X :( 1
2
+oo 1
Pour x E]l; +oo[, on note Ç(x) = L-:;:- (cf. exercice
n=I n
Pour n E N, on note 'Pn : IR -----+ IR l'application définie
par:
5.3.1 o) p. 324).
a) Montrer: Ç(x) - 1 ~ 2- x.
x->+oo
+oo
Montrer que L 'Pn est continue sur IR et n'est dérivable en
n=O
li
+oo t - E(t)
b) Pour x E IR'f- , on note l (x) =
1 dt.
1
rx+
aucun point de IR .
5.3.4
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
l
b
+oo
permuter
et L.
a
n=O
Convergence uniforme et intégration
sur un segment
Soient (a ,b) E JR 2 , tel que a ,,;:; b, et LUn : [a; b] ~ E) une série d'applicatio ~
n ;>O
alors
1 Preuve
pour tout n de N, fn est continue sur [a; b]
L fn converge uniformément sur [a ; b]
n ;>O
+oo
• L fn est continue sur [a; b]
n = O
• L (lb fn (x) dx) converge dans E
n ;>O
a
• 1b (ra fn(x)) dx = ra1b f n (X) dx.
n
Il suffit d'appliquer le Théorème de 5.1.4 1) p. 296 à la suite (Sn)n ;,O des sommes partielles, Sn = L fk·
k=O
Remarque : La troisième partie de la conclusion du Théorème peut s'exprimer ainsi :
l
b
+oo
on pennute
et L .
a
n=O