5.3.10 a) Etudier les convergences de L fn , où
n:;;, 1
fn : IR+ -----+ IR
x 1----+ ( -1 )n- l ln ( l + ~)
+oo
On note S = L fn.
n=l
b) Détenniner la partie principale de S(x) lorsque x tend
vers +oo.
c) Calculer S(l) (utiliser la formule de Wallis,
(2nn!) 4
TC
2
~ -, § 4.3.7 4)).
((2n)!) (2n + 1) noo 2
5.3.11 a) Etudier les convergences de
fn : IR~ -----+ IR
nx
X 1----+ ---..,,....--'7'
(n2 + x)2
+oo
l
b) On note S = L fn; montrer S(x) ~ - .
n=O
x--++oo 2
5.3.12 Soient I un intervalle de IR, L fn une série d'apn:;;,O
pli cations de I dans IR, croissantes (resp. convexes)
5.3 · Séries d'applications
+oo
convergeant simplement sur /. Montrer que L ,f,, est
n=O
croissante (resp. convexe) sur / .
5.3.13 Fonction de Riemann
+oo 1
On note Ç (x ) = L - pour x E] 1; +oo[ (cf. exercice
n=l nx
+oo (- l)n
5.3.1 o) p. 324) et T(x) = L - x - pour x E]O; +oo[
n=I n
(cf. exercice 5.3. l p) p. 324).
Montrer: \fx E]l ; +oo[,
T(x) = (2l - x - l )Ç(x).
5.3.14 On note, pour n E N* ,
n (-l)k+ l
Sn = L k et
k= l
a) Montrer Sn ~ ln 2 et
noo
Il
(- l)k+ l
T 11 =L 2k-I
k=l
TC
T11~-.
noo 4
b) Montrer que les séries L(Sn - ln 2) et L ( Tn - ~)
n:;;, l
n:;;, l
convergent et calculer leurs sommes.
5.3.15 Soit (an)n;;, 1 une suite réelle telle que L n
2
a~
n:;;,1
converge. Montrer que la série d'applications L fn défi11 :;;, l
nie par fn : IR -----+ IR .
converge normalement.
x 1----+ an sin nx
5.3.2
Convergence uniforme et limite
\ '} \ X estunepartienon vided'unOC-evn F
\_:..) de dimension finie; E est un OC-evn de
dimension finie.
On garde ici les notations de 5.1.2 p. 292.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
~ >- 0.
0
u
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
+oo
permuter lim et"' .
x~a ~
n=O
l
Soient a E X, L Un : X ---+ E) une série d'applications.
n :;;,O
pour tout n de N, fn admet une limite ln en a
L fn converge uniformément sur X
n:;;,O
+oo
alors, en notant S = L f n :
n=O
Preu ve
• L ln converge dans E
n :;;,O
• S admet une limite en a
+oo
• li~S =Lin.
n=O
n
U suffit d'appliquer le Théorème de 5. l.2 p. 292 à la suite (Sn ) 11 :;;,Q des sommes partielles, Sn = L fk.
k=O
325
n:;;, 1
fn : IR+ -----+ IR
x 1----+ ( -1 )n- l ln ( l + ~)
+oo
On note S = L fn.
n=l
b) Détenniner la partie principale de S(x) lorsque x tend
vers +oo.
c) Calculer S(l) (utiliser la formule de Wallis,
(2nn!) 4
TC
2
~ -, § 4.3.7 4)).
((2n)!) (2n + 1) noo 2
5.3.11 a) Etudier les convergences de
fn : IR~ -----+ IR
nx
X 1----+ ---..,,....--'7'
(n2 + x)2
+oo
l
b) On note S = L fn; montrer S(x) ~ - .
n=O
x--++oo 2
5.3.12 Soient I un intervalle de IR, L fn une série d'apn:;;,O
pli cations de I dans IR, croissantes (resp. convexes)
5.3 · Séries d'applications
+oo
convergeant simplement sur /. Montrer que L ,f,, est
n=O
croissante (resp. convexe) sur / .
5.3.13 Fonction de Riemann
+oo 1
On note Ç (x ) = L - pour x E] 1; +oo[ (cf. exercice
n=l nx
+oo (- l)n
5.3.1 o) p. 324) et T(x) = L - x - pour x E]O; +oo[
n=I n
(cf. exercice 5.3. l p) p. 324).
Montrer: \fx E]l ; +oo[,
T(x) = (2l - x - l )Ç(x).
5.3.14 On note, pour n E N* ,
n (-l)k+ l
Sn = L k et
k= l
a) Montrer Sn ~ ln 2 et
noo
Il
(- l)k+ l
T 11 =L 2k-I
k=l
TC
T11~-.
noo 4
b) Montrer que les séries L(Sn - ln 2) et L ( Tn - ~)
n:;;, l
n:;;, l
convergent et calculer leurs sommes.
5.3.15 Soit (an)n;;, 1 une suite réelle telle que L n
2
a~
n:;;,1
converge. Montrer que la série d'applications L fn défi11 :;;, l
nie par fn : IR -----+ IR .
converge normalement.
x 1----+ an sin nx
5.3.2
Convergence uniforme et limite
\ '} \ X estunepartienon vided'unOC-evn F
\_:..) de dimension finie; E est un OC-evn de
dimension finie.
On garde ici les notations de 5.1.2 p. 292.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
~ >- 0.
0
u
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
+oo
permuter lim et"' .
x~a ~
n=O
l
Soient a E X, L Un : X ---+ E) une série d'applications.
n :;;,O
pour tout n de N, fn admet une limite ln en a
L fn converge uniformément sur X
n:;;,O
+oo
alors, en notant S = L f n :
n=O
Preu ve
• L ln converge dans E
n :;;,O
• S admet une limite en a
+oo
• li~S =Lin.
n=O
n
U suffit d'appliquer le Théorème de 5. l.2 p. 292 à la suite (Sn ) 11 :;;,Q des sommes partielles, Sn = L fk.
k=O
325