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0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Exercices
4.3.23 Soient L Un une série à termes dans Ri et, pour
n;;. 1
n
(où Sn = L Uk).
k= I
n
n E f::I* , Sn= Luk. On suppose que LUn diverge
k= l
et Un~O. On note,
11 00
1
Il
n
pour n assez grand,
4.3.25 Déterminer la partie principale (dans l'échelle des
na, a E IR ) quand n tend vers l'infini, de
'""' Uk
Vn = - - ~ - . Montrer : Vn ~ 1.
ln Sn
Sk
noo
k=l
4.3.24
Soient Lu,, une série divergente à termes
Il
dans IR+, telle que un ~ 0.
11 00
4.3.10
On peut aussi considérer des suites
doubles indexées par (N* ) 2 , par
N X N* , . . .
Par hypothèse, pour tout p E N, Sp
existe, et U existe.
Séries doubles
1) Cas des séries doubles à termes dans lR+
Théorème d'interversion des sommations, cas de IR+
Soit (up,q) ( p ,q)EN1 une suite double, c'est-à-dire une suite indexée par N
2 , à termes l
dans lR+ .
Si
alors
L
•Pour tout p E N, la série L up,q converge
q ;;.O
+oo
•La série L ( L up,q) converge
p ;;.O q=O
•Pour tout q E N, la série L up,q converge
p ;;.O
+oo
•La série L ( L up ,q) converge
q ;;.O p=O
Preuve
Supposons que, pour tout p E f::I, la série L up,q converge, et que la série L ( f u p.q) converge.
q~
p~
q~
+oo
Notons, pour tout p E N, S" = L u p,q et
q=O
+oo
u = .L:sp.
p=O
•On a, pour tout q E f::I : V p E N , 0 ::;; u p,q ::;; SP.
Comme la série L S" converge, par théorème de majoration pour des séries à termes dans IR+, la série
p;;.O
L u p,q converge.
p;;.O
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