'
._
1.1.2
Remarquer l'inégalité stricte pour la boule
ouverte, large pour la boule fermée .
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Boules, sphères
Soient (E , 11 -11) un IK-evn et d la distance associée.
Soient a E E, r E JR'+ ; on définit les parties suivantes de E, appelées respectivement boule ouverte, boule fermée, de centre a et de rayon r :
l __
B(a; r) = {x E E; d(a,x) < r}
B' (a; r) = {x E E; d(a,x) ~ r}.
On appelle aussi sphère de centre a et de rayon r: S(a; r) = {x E E; d(a ,x ) = r}.
Remarque :Si E i= {0},alors,pourtous a ,b de E et r, s de IR+ . on a:
B(a ; r) = B(b ; s)
ou
J
f/J Cf.exercice 1.1.11 5) p.13.
B' (a; r) = B ' (b; s)
{:::::::} { a = b
r=s
ou
Exercices 1.1.11à1.1.13.
S(a; r) = S(b; s)
Ainsi, une boule ouverte (resp. boule fermée, resp. sphère) de E n'a qu'un« centre» et qu'un
«rayon».
On peut noter BE(a; r)au lieu de B(a; r) pour éviter des confusions, si plusieurs evn interviennent.
-1
Exemples:
Dans IR 2 , on peut représenter graphiquement les boules fermées de centre 0 et de rayon l
pour les trois normes usuelles :
y
y
y
1 X
1 X
0
0
1 X
- 1
B ' l I , (ü: Il
- 1
-1
B' 1
(0; 1)
Un exemple de norme sur JR
2 , tracé de la boule unité fermée
On considère l'application
lx+ tyl
N: JR
2 ----+ IR, (x ,y) r-----+ N(x ,y) = Sup
2
.
IE IR
l + f
a) Montrer que N est une norme sur IR
2 .
b) Déterminer et tracer, dans JR
2 usuel, la boule fermée B~ (0; 1).
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