-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
194
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Cet exemple constitue un exercice-type
d'utilisation du théorème de dérivation
sous le signe 1·
On peut passer par les nombres
complexes, en vue de calculer cette
intégrale.
Exemple:
1
+"lC e - i sin (xt)
Existence et calcul, pour x E ~ . de : f (x) =
dt .
0
f
e - i sin (xt)
Notons F: IR x]O; +oo[ ---4 IR, (x,t) 1--+ F(x,t) =
.
t
Pour tout x E IR, F(x, ·) est intégrable sur )0 ; +oo[, car: F(x, ·) est continue sur )0 ; +oo[,
F(x,t) ---4 x, et, pour t ;?:! l , IF(x,t) I ~ e - 1 .
1 ----> 0
aF
L'application -
: (x ,t) 1--+ e - 1 cos (xt) est définie sur IRx ]O; +oo[ , continue par
ax
rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HD
sur IR x )0 ; +oo[, puisque :
V (x,t) E IRx ]O; +oo[, 1 ~~ (x,t)I = e -
1
1 cos (xt) I ~ e -
1
,
et t 1--+ e - i est intégrable sur )0 ; +oo[.
r +oo
D' après le théorème de dérivation sous le signe Jo , l' application f est de classe C
1
sur IR et :
Vx E IR, f(x) = { +oo aF (x,t)dt = { +oo e- 1 cos(xt)dt.
lo ax
lo
Il reste à calculer cette intégrale. On a, pour tout x E IR :
e-1eix1 dt=
e<- t+ix)1 dt= e
.
= - - . - = __ 1x _,
1
+00
1+00
[ (-l+i x)I ] +oo
l + .
0
O
-1 + 1 X o
1 - 1 X
1 + x 2
d'où:
x -Ré - - - - - -
1
(l+ix)
1
f ( ) -
1 + x 2 - 1 + x 2 •
Puis, en primitivant :
V x E IR, f(x) = f(O) + r f ' (t) dt= r -
1
-
2
dt= Arctanx.
Jo
Jo 1 + t
Remarque : Extension aux fonctions de plusieurs variables
La preuve précédente peut aisément être adaptée pour obtenir le résultat plus général suivant :
Soient m E N*, U un ouvert de IR"', F :
U x I ---4 IK
, une application.
Si
(x 1, ... ,x111; t) 1--+ F(x1 , ... ,xm ; t)
•pour tout (x 1 , ... ,x 111 ) E U,F(x 1 , ... ,x 111 ; ·)est intégrable sur l
aF
•pour chaque i E {l , ... ,m}- existe, est continue par rapport à (x 1 , ••• ,x,,.)
ax;
et continues par morceaux par rapport à la variable t
an F
•pour chaque i E {l , ... ,m} - - ., vérifie HD sur U x /,
ax•
aF
•pour tout x = (x 1 , ... ,x 111 ) EU et pour tout i E {l , ... ,m}, - (x 1 , ... ,x 111 ; ·)
ax;
est intégrable sur I
alors
•l' applicatio n f :
U ---4 IK
, est de classe C
1
(x1 , ... ,x 111 )1-+ f 1 F(x1, ... ,x 111 ;t)dt
sur I et :
.
~
f aF
'Vt E {l , ... ,m}, 'V(x 1 , ... ,x 111 ) EU, - (xi, ... ,x,,,) =
- . (x 1 , ... ,x 111 ; t)dt.
ax;
f ax;
0
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Cet exemple constitue un exercice-type
d'utilisation du théorème de dérivation
sous le signe 1·
On peut passer par les nombres
complexes, en vue de calculer cette
intégrale.
Exemple:
1
+"lC e - i sin (xt)
Existence et calcul, pour x E ~ . de : f (x) =
dt .
0
f
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Notons F: IR x]O; +oo[ ---4 IR, (x,t) 1--+ F(x,t) =
.
t
Pour tout x E IR, F(x, ·) est intégrable sur )0 ; +oo[, car: F(x, ·) est continue sur )0 ; +oo[,
F(x,t) ---4 x, et, pour t ;?:! l , IF(x,t) I ~ e - 1 .
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L'application -
: (x ,t) 1--+ e - 1 cos (xt) est définie sur IRx ]O; +oo[ , continue par
ax
rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HD
sur IR x )0 ; +oo[, puisque :
V (x,t) E IRx ]O; +oo[, 1 ~~ (x,t)I = e -
1
1 cos (xt) I ~ e -
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et t 1--+ e - i est intégrable sur )0 ; +oo[.
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D' après le théorème de dérivation sous le signe Jo , l' application f est de classe C
1
sur IR et :
Vx E IR, f(x) = { +oo aF (x,t)dt = { +oo e- 1 cos(xt)dt.
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Il reste à calculer cette intégrale. On a, pour tout x E IR :
e-1eix1 dt=
e<- t+ix)1 dt= e
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1
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[ (-l+i x)I ] +oo
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d'où:
x -Ré - - - - - -
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1 + x 2 - 1 + x 2 •
Puis, en primitivant :
V x E IR, f(x) = f(O) + r f ' (t) dt= r -
1
-
2
dt= Arctanx.
Jo
Jo 1 + t
Remarque : Extension aux fonctions de plusieurs variables
La preuve précédente peut aisément être adaptée pour obtenir le résultat plus général suivant :
Soient m E N*, U un ouvert de IR"', F :
U x I ---4 IK
, une application.
Si
(x 1, ... ,x111; t) 1--+ F(x1 , ... ,xm ; t)
•pour tout (x 1 , ... ,x 111 ) E U,F(x 1 , ... ,x 111 ; ·)est intégrable sur l
aF
•pour chaque i E {l , ... ,m}- existe, est continue par rapport à (x 1 , ••• ,x,,.)
ax;
et continues par morceaux par rapport à la variable t
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•pour chaque i E {l , ... ,m} - - ., vérifie HD sur U x /,
ax•
aF
•pour tout x = (x 1 , ... ,x 111 ) EU et pour tout i E {l , ... ,m}, - (x 1 , ... ,x 111 ; ·)
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alors
•l' applicatio n f :
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, est de classe C
1
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sur I et :
.
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'Vt E {l , ... ,m}, 'V(x 1 , ... ,x 111 ) EU, - (xi, ... ,x,,,) =
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