V(x,t) E lR x [0; T],
lf(t)g(x - 1)1 ~ llfl lool lglloo -
'a Utilisation de la T-péiodicité de g.
V (x, t) E lR X JR,
lf(t)g(x - t)I ~ llglloolf(t) I.
'PJ _ · Si A est une partie de JR,on peut, dans
l/J la Définition 3, remplacer compact par
segment, car tout segment de lR est un
compact de JR.et tout compact de lR est
inclus dans un segment de lR.
~\ Bien noter que 'PK (1) ne doit pas
dépendre de x.
3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
Puisque l'application
lR x [O ; T] -----+ tC
est continue par rapport à x, continue par
(x,t) 1-----+ f(t)g(x - t )
morceaux (car continue) par rapport à t et vérifie l'hypothèse de domination sur lR x [O ; T]
en prenant l'application constante 11f11 00 l lg 1 1 00 , le théorème précédent montre que f * g est
continue sur lR .
De plus, f * g est T-périodique, puisque, pour tout x E IR :
(f * g)(x + T) = lT f (t)g(x + T - t) dt = lT f (t)g(x - t) dt = (f * g)(x).
2) Convolution sur R.
Soient/ E C.C
1
(IR,q,g E C(JR,q bornée.
Alors l'application h : lR -----+ tC défi nie par : V x E lR, h(x) = 1_:
00
f (t)g(x - t) dt est
définie sur lR et continue sur JR, puisque l'application F :
IR x IR -----+ tC
est conti(x ,t ) 1-----+ f(t)g(x - t)
nue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t et vérifie l'hypothèse de domination sur IR x IR en prenant IR -----+ IR
.
t 1-----+ llglloolf(t)I
On dit qu' une application F : A x l ~ 1K vérifie ]'hypothèse de domination
locale (en abrégé : HDL) sur A x l si et seulement si, pour toute partie compacte
K incluse dans A il existe une application ({JK : l ~ IR continue par morceaux,
;;::: 0 , intégrable sur!, telle que :
V(x,t) E K x ! , IF(x,t)I ::;; ({JK(l ) . _ _ J
Remarques:
1) Si F vérifie HD, alors F vérifie HDL.
2) Si l est un segment et si F : A x l -----+ lK est continue (en tant que fonctions de deux
variables réelles), alors F vérifie HDL sur A x !. En effet, pour tout compact K inclus
dans A , Fest continue sur le compact K x !, donc bornée sur K x /,et toute application
constante sur I est intégrable sur le segment /.
Extension au cas où l'hypothèse de domination
est vérifiée sur toute partie compacte incluse dans A
{
• Fest continue par rapport à la première variable (x)
Si • Fest continue par morceaux par rapport à la deuxième variable(!)
• F vérifie l' hypothèse de domination locale sur A x !,
alors
{
• pour tout x E A, F (x, ·) est intégrable sur I
• l'application f :
A ~ 1K
est continue sur A.
xi----+ J 1 F(x,t) dt
L
Preuve
Soient x E A et (a 11 ),,er; une suite dans A convergeant vers x. D'après 1.3.1 Prop.1 p. 58, la partie
K = {a,, ; n EN} U {x} est une partie compacte de A.
D'après le Théorème précédent, appliqué à F IKxf, pour tout x E K, l'application F(x,-) est intégrable
suri, et l'application
K -----+ lK
est continue sur K . Il en résulte que, pourtout x E A, F (x,-)
x 1-----+ J, F(x ,t ) dt
est intégrable sur l et que f (a,,) -----+ f (x) , ce qui montre que f est continue en x, et finalement f est
""°
continue sur A.
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lf(t)g(x - 1)1 ~ llfl lool lglloo -
'a Utilisation de la T-péiodicité de g.
V (x, t) E lR X JR,
lf(t)g(x - t)I ~ llglloolf(t) I.
'PJ _ · Si A est une partie de JR,on peut, dans
l/J la Définition 3, remplacer compact par
segment, car tout segment de lR est un
compact de JR.et tout compact de lR est
inclus dans un segment de lR.
~\ Bien noter que 'PK (1) ne doit pas
dépendre de x.
3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
Puisque l'application
lR x [O ; T] -----+ tC
est continue par rapport à x, continue par
(x,t) 1-----+ f(t)g(x - t )
morceaux (car continue) par rapport à t et vérifie l'hypothèse de domination sur lR x [O ; T]
en prenant l'application constante 11f11 00 l lg 1 1 00 , le théorème précédent montre que f * g est
continue sur lR .
De plus, f * g est T-périodique, puisque, pour tout x E IR :
(f * g)(x + T) = lT f (t)g(x + T - t) dt = lT f (t)g(x - t) dt = (f * g)(x).
2) Convolution sur R.
Soient/ E C.C
1
(IR,q,g E C(JR,q bornée.
Alors l'application h : lR -----+ tC défi nie par : V x E lR, h(x) = 1_:
00
f (t)g(x - t) dt est
définie sur lR et continue sur JR, puisque l'application F :
IR x IR -----+ tC
est conti(x ,t ) 1-----+ f(t)g(x - t)
nue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t et vérifie l'hypothèse de domination sur IR x IR en prenant IR -----+ IR
.
t 1-----+ llglloolf(t)I
On dit qu' une application F : A x l ~ 1K vérifie ]'hypothèse de domination
locale (en abrégé : HDL) sur A x l si et seulement si, pour toute partie compacte
K incluse dans A il existe une application ({JK : l ~ IR continue par morceaux,
;;::: 0 , intégrable sur!, telle que :
V(x,t) E K x ! , IF(x,t)I ::;; ({JK(l ) . _ _ J
Remarques:
1) Si F vérifie HD, alors F vérifie HDL.
2) Si l est un segment et si F : A x l -----+ lK est continue (en tant que fonctions de deux
variables réelles), alors F vérifie HDL sur A x !. En effet, pour tout compact K inclus
dans A , Fest continue sur le compact K x !, donc bornée sur K x /,et toute application
constante sur I est intégrable sur le segment /.
Extension au cas où l'hypothèse de domination
est vérifiée sur toute partie compacte incluse dans A
{
• Fest continue par rapport à la première variable (x)
Si • Fest continue par morceaux par rapport à la deuxième variable(!)
• F vérifie l' hypothèse de domination locale sur A x !,
alors
{
• pour tout x E A, F (x, ·) est intégrable sur I
• l'application f :
A ~ 1K
est continue sur A.
xi----+ J 1 F(x,t) dt
L
Preuve
Soient x E A et (a 11 ),,er; une suite dans A convergeant vers x. D'après 1.3.1 Prop.1 p. 58, la partie
K = {a,, ; n EN} U {x} est une partie compacte de A.
D'après le Théorème précédent, appliqué à F IKxf, pour tout x E K, l'application F(x,-) est intégrable
suri, et l'application
K -----+ lK
est continue sur K . Il en résulte que, pourtout x E A, F (x,-)
x 1-----+ J, F(x ,t ) dt
est intégrable sur l et que f (a,,) -----+ f (x) , ce qui montre que f est continue en x, et finalement f est
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continue sur A.
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