3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
Solution
1
Il est clair que, pour tout n E N, f,, est continue sur [O ; + oo[, et ln (x) "' 2 ,
x ~ +oo x
donc, d'après l'exemple de Riemann en + oo (2 > 1) et le théorème d'équivalence
pour des fonctions :? 0, ln est intégrable sur [0; +oo[.
1
+00 1 + xn
On conclut que, pour tout n E N, / 11 =
2
dx existe.
1 +x
11 +
2) On a, pour tout n E N, / 11 = J,, + K ,,, où on a noté:
1
1
1 +x"
] 11 =
2
dx ,
0 1 + xn+
K =
dx.
l
+oo 1 + x n
n
l
1 + xn+2
1 +xn
Comme, pour tout x E [0; l] fixé,
+ 2 -----+ 1, on forme :
1 + x" noo
1 +x"
1
Comme, pour x E [l; +oo[ fixé,
2
-----+ 0 , on forme:
1 + x 11 + noo xI
K" - l+oo 2_ dxl = l l +oo ( 1 + x n - 2-) dxl
1
x 2
1
1 + x"+2 x 2
= l l +oo x 2 - 1 dx 1 -l +oo x 2 - 1 dx
(1 + xn+2 )x2
-
1
(1 + x n+2 )x2
l
+oo X 2
1
l +oo
::::::
- - - dx =
(x-n - x-n- 2 ) dx
~
x n+2
1
[
x-n+I
x-11-1 ] +oo
l
l
2
( l )
= -n + 1 - -n - 1
1
= n - l - n + 1 = n 2 - l = O n2 ·
Ceci montre: Kn = 1 + 0(: 2 ) ·
On conclut : l n = 111 + K n = 2 + 0 ( : 2
) .
Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert
Conseils
Le comportement de xn , pour x E [O + oo[
fixé et n tendant vers l'infini, dépend de la
position de x par rapport à 1, d'où l'idée de
décomposer !,, à l'aide de la relation de
Chasles, avec le point intermédiaire 1.
On forme la différence entre 1 11 et ce que
l'on conjecture être la limite de ln lorsque
n tend vers l'infini.
Ona:
xn - x
11 + 2 = xn(I - x 2 )? O.
On forme la différence entre K,, et ce que
l'on conjecture être la limite de K 11 lorsque
n tend vers l'infini.
On a: x E [I + oo[, x 2 - 1 ? O.
On a 1 + x
11 + 2 ? x
11 + 2 et x 2 ? 1.
De plus, on peut supposer n ? 2, d'où
l'existence de l'intégrale majorante.
• Pour l'existence et le calcul d'intégrales (ex. 3.2.6), il est conseillé de commencer par montrer l'existence (par
les méthodes du§ 3.1.3 ou celles du§ 3.2.3) et ensuite d'effectuer le calcul.
• Pour calculer 1" .f (x )dx , où, par exemple,! est intégrable sur [a; b [, on pourra souvent utiliser des intégrales
sur des segments ou des primitives; en notant F une primitive de.f sur [a; b[, on a, pour tout X de [a; b[:
puis on fait tendre X vers b.
1x .f(x)dx = [F(x)]; = F(X) - F(a) ,
179
Solution
1
Il est clair que, pour tout n E N, f,, est continue sur [O ; + oo[, et ln (x) "' 2 ,
x ~ +oo x
donc, d'après l'exemple de Riemann en + oo (2 > 1) et le théorème d'équivalence
pour des fonctions :? 0, ln est intégrable sur [0; +oo[.
1
+00 1 + xn
On conclut que, pour tout n E N, / 11 =
2
dx existe.
1 +x
11 +
2) On a, pour tout n E N, / 11 = J,, + K ,,, où on a noté:
1
1
1 +x"
] 11 =
2
dx ,
0 1 + xn+
K =
dx.
l
+oo 1 + x n
n
l
1 + xn+2
1 +xn
Comme, pour tout x E [0; l] fixé,
+ 2 -----+ 1, on forme :
1 + x" noo
1 +x"
1
Comme, pour x E [l; +oo[ fixé,
2
-----+ 0 , on forme:
1 + x 11 + noo xI
K" - l+oo 2_ dxl = l l +oo ( 1 + x n - 2-) dxl
1
x 2
1
1 + x"+2 x 2
= l l +oo x 2 - 1 dx 1 -l +oo x 2 - 1 dx
(1 + xn+2 )x2
-
1
(1 + x n+2 )x2
l
+oo X 2
1
l +oo
::::::
- - - dx =
(x-n - x-n- 2 ) dx
~
x n+2
1
[
x-n+I
x-11-1 ] +oo
l
l
2
( l )
= -n + 1 - -n - 1
1
= n - l - n + 1 = n 2 - l = O n2 ·
Ceci montre: Kn = 1 + 0(: 2 ) ·
On conclut : l n = 111 + K n = 2 + 0 ( : 2
) .
Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert
Conseils
Le comportement de xn , pour x E [O + oo[
fixé et n tendant vers l'infini, dépend de la
position de x par rapport à 1, d'où l'idée de
décomposer !,, à l'aide de la relation de
Chasles, avec le point intermédiaire 1.
On forme la différence entre 1 11 et ce que
l'on conjecture être la limite de ln lorsque
n tend vers l'infini.
Ona:
xn - x
11 + 2 = xn(I - x 2 )? O.
On forme la différence entre K,, et ce que
l'on conjecture être la limite de K 11 lorsque
n tend vers l'infini.
On a: x E [I + oo[, x 2 - 1 ? O.
On a 1 + x
11 + 2 ? x
11 + 2 et x 2 ? 1.
De plus, on peut supposer n ? 2, d'où
l'existence de l'intégrale majorante.
• Pour l'existence et le calcul d'intégrales (ex. 3.2.6), il est conseillé de commencer par montrer l'existence (par
les méthodes du§ 3.1.3 ou celles du§ 3.2.3) et ensuite d'effectuer le calcul.
• Pour calculer 1" .f (x )dx , où, par exemple,! est intégrable sur [a; b [, on pourra souvent utiliser des intégrales
sur des segments ou des primitives; en notant F une primitive de.f sur [a; b[, on a, pour tout X de [a; b[:
puis on fait tendre X vers b.
1x .f(x)dx = [F(x)]; = F(X) - F(a) ,
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