Exercices 3.1.4, 3.1.S.
g Onaainsi: -oo ~ a < b < +oo.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On étudie ici l'intégrabilité de f sur
l'intervalle la; b] ,ouvert en a. Dans la
Proposition l , l'étude se faisait sur
[a; b[.ouvertenb.
Graphiquement, on effectue une
symétrie par rapport à une droite
parallèle à l'axe des ordonnées.
3.1 ·Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
Preuve
1) (i) ===} (ii) :
Supposons f intégrable sur [a; b[. Pour tout X de [a; b [, comme [a; X] est un segment inclus dans
[a;b[,ona: F(X)=1x f= [
f~ [ f, cequimontreque Festmajorée (par [ f).
a
l ra:Xl
lra:b[
l ra;bf
(ii) ===} (iii) :
Supposons F majorée sur [a; b [. Comme F est croissante (puisque f ): 0) , il en résulte que F admet
une limite finie en b.
(iii) ===} (i) :
Supposons que F admette une limite finie L en b. Comme F est croissante (puisque f ): 0), on a :
\IX E [a ; b[, lx f = F(X) ~ L.
Soit J un segment inclus dans [a; b[ ; en notant X l'extrémité droite de J, on a :
{ f ~ 1 x f = F(X) ~ L.
J1
a
Ainsi (cf. 3.1.1Déf. 1et2 p. 154),festintégrable sur [a ; b[, et [
f ~ L.
l ia;b[
2) Enfin, sous l'une des hypothèses (i), (ii), (iii), F admet une limite finie Len b.
D'une part : L ~ f f, car: \IXE [a; b[, F(X) ~ f f.
l~ ;b[
]~;~
D'autre part, on a vu :
f f ~ L.
l ra:bf
Donc:
[
f = L.
l ca:b[
•
Soient (a,b) E (JR U {-oo}) x lR tel que a < b, f E CM(]a; b],JR), :;,: O. Notons
F : ]a; b] -----+ lR l'application définie par :
VX E]a; b], F(X) = lb f.
Les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est intégrable sur ]a ; b]
(ii) F est majorée sur ]a; b]
(iii) F admet une limite finie en a .
De plus, si l'une de ces trois propriétés est vérifiée, alors :
1
1 b 1b
f = Sup
f = lim
f.
]a;b]
XE]a;b] X
X-+a X
L'intégrale f f est alors aussi notée 1b f (ou : 1b f (x) dx).
J] a;b]
a
a
Preuve
Tl suffit d'appliquer la Proposition précédente à la fonction
à [-b;+oo[~ IR si a=-oo.
Xf--+ f(-x)
[a ; b[~ IR
xf--+ f (a+b - x)
si a E IR,
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