2.4.3
Généralisation de la notion de polynôme
vue en MPSI, Algèbre ch. S.
Q En pratique, presque toujours: a = 0.
Étudier un DL pour une fonction f
à valeurs vectorielles revient à étudier
des DL pour les fonctions composantes
def
2.4 ·Comparaison locale
!
f "' g
6) 1
. ah
===} f o h"' g o h
1m =a
b
b
(composition à droite)
7)f = o(llgll) {::::::} f + g "' g ·
a
a
Preuve
Analogue à celle d' Analyse MPSI, 8.2.2 Prop. 1.
•
Développements limités vectoriels
1) Définition
On appelle polynôme vectoriel (à coefficients dans E) toute application P : IR -* E
telle qu'il existe p E N, Ao, ... , Ap E E tels que :
p
'Vt E IR, P(t) = I>k Ak.
k=O
On appelle alors degré de P le plus grand entier k de {O, ... , p} tel que Ak # 0
(et deg(O) = -oo ).
Soient n E N, f : V -----+ E. On dit que f admet un développement limité à l'ordre
n en a (en abrégé D L 11 (a)) si et seulement s'il existe un polynôme vectoriel P tel
l
deg(P) , :::;; n
que:
'Vt E V, f(t) = P(t - a)+ o ((t - a)n) ·
t-'>a
On montre, comme dans Analyse MPSI, 8.3.l Prop. l, l'unicité de P, appelé partie
régulière du DL 11 (a) def
On définit de manière analogue la notion de développement limité en +oo, en -oo. Supposons
que E soit muni d'une base B = (e 1 , ... ,eN ), et notons f 1 , ••• .f N les applications composantes
de f dans B. Pour que f admette un D Ln (a) , il faut et il suffit que, pour tout j de { 1, . . . , N}, fj
admette un D Ln (a). De plus, dans ce cas, en notant Pi la partie régulière du D Ln (a) de fj pour
N
1 ,:::;; j ,:::;; N, la partie régulière P du DLn(a) def est: P = L Pjej.
j =I
2) le théorème de Taylor-Young
Théorème de Taylor-Young
Soient n EN , f: V-* E. Sifest de classe en sur V, alorsfadmet un DL 11 (a),~
n (X
)k
. , 1·'
"""'
- a
f(k)(a).
partie regu 1ere L..,
k=O
k!
Autrement dit: 'Vt E V,
Il
(t
)k
f(t) = L - a f(k)(a) + o ((t - a)n).
k=O
k!
t-'>a
Preuve
ire méthode
Adapter la preuve du théorème de Taylor-Young pour les fonctions à valeurs réelles vue dans Analyse
MPSI (8.3.2 Théorème).
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