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N
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Ol
L'intégrale d'une application en escalier
se ramène aux intégrales de ses
fonctions composantes.
Relation de Chasles pour les intégrales
des fonctions en escalier.
-~]) o. ~ l le 11 est ici une fonction.
0
u
2.3 • Intégration sur un segment
2) Intégration d'une application en escalier sur un segment
r .
Soient e E E(a,b) , s = (ai)O.;;i .;;n E S adaptée à e, et, pour chaque ide {O, ... ,n - 1},
Ai la valeur de e sur ]ai; ai+ 1 [.
n - 1
L'élément L(ai+I - ai)Ai de E ne dépend pas de la subdivisions adaptée à e; cet
i=O
élément s'appelle l'intégrale de e sur [a. b] et est noté
[
e ou 1b e.
J[a ;b]
a
Preuve
Comme dans Analyse MPSI, 6.1.2 Prop.-Déf.
•
La Proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B = (e1, ... ,eN). Soient f E E(a,b),
fi, ... JN les applications composantes de f dans B. On a :
l _ _
N (
)
1 = z= iJ ej.
la;b] j=I la;b]
L'application E(a ,b) ----* E est linéaire.
et--+ ha;b] e
Preuve
J
J
Comme dans Analyse MPSI, 6.1.2 Prop. 2.
•
Soient (a,b,c) E JR 3 tel que a < b < c, e E E(a,c). Les restrictions de e à [a; b]
et à [b; c] sont en escalier et:
L;bl el[a;bl + lr.;cl el[b;c] = ha;cl e.
J
Preuve
Comme dans Anayse MPSI, 6.1.2 Prop. 4.
•
Soient li· li une norme sur E et e E E(a,b). Alors llell : [a; b]----* IR est en escalier sur [a; b] et:
tt--+lle(t) ll
l
Il
[ ell ~ [ llell.
J
J[a ;b]
J[a;b]
.
Preuve
Il existes = (a; ) 0 ,;;; .;; 11 ES adaptée à e.
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