'
·Une application continue par morceaux
sur un segment n'admet qu'un nombre
fini de points de discontinuité.
• Mais une application continue par
morceaux sur un intervalle quelconque
peut admettre une infinité de points de
discontinuité.
g admet une infinité de points de
discontinuité.
2.1 • Généralités
Soient l un intervalle de ffi., f E E 1 . On dit que f est continue par morceaux)
sur l si et seulement si, pour tout (a,b) de 1 2 tel que a < b.Jl[a;b] est continue par
l morceaux sur [a ; b].
)
Exemples:
1) L'application f : JO; 1 J ---+ IR définie par :
f(x) =
s'il existe n E N tel que
1
1
- - ~X< -
211+1 "'
2n
1
si X = 1
est continue par morceaux sur JO; lJ.
y
1
1
2
1
4
l
8
y = f (x)
~~~~~~~~~
Cependant, l'application g : [O; lJ ---+ IR défi0 1
8
1
4
1
2
1 X
nie par g(x) = { f~x)
six EJO; lJ
si x = 0
obtenue en complétant g par continuité en 0, n'est pas continue par morceaux sur [O; lJ.
2) L'application f : IR ---+ IR définie par :
f(x) = 1 :
-1
si XE Z
s'il existe n E Z tel que 2n < x < 2n + 1
s'il existe n E Z tel que 2n - 1 < x < 2n
est continue par morceaux sur IR.
y
y= f (x)
-
-2 - 1
1
2
0
X
On montre aisément les deux Propositions suivantes.
Soit l un intervalle de IR.
1) L'ensemble des applications de l dans E continues par morceaux sur l est un
JK-ev (pour les lois usuelles).
2) Si À : l ----+ lK etf : l ----+ E sont continues par morceaux, alors Àf est continue
par morceaux.
Supposons que E soit muni d'une base B .
Soient l un intervalle de IR, f E E
1
, f1, ... .f N les applications composantes de f
dans B. Pour que f soit continue par morceaux sur /, il faut et il suffit que, pour
chaque j de { 1, ... , N}, fj soit continue par morceaux sur 1.
l
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