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“MPSI-fin” — 2013/7/22 — 9:45 — page 340 — #348
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CHAPITRE 6 – LE SOLIDE CRISTALLIN
Masse volumique à partir de la maille
La masse volumique du titane est de 4509 kg·m −3 . Comparer cette valeur à celle obtenue à
partir du rayon métallique du titane (147,0 pm) en considérant une structure h.c.. La relation
entre les paramètres de maille a et c et le rayon de l’atome dans la structure h.c. est :
c = a
8/3 et a = 2r (atome) (M Ti = 47,90.10 −3 kg·mol −1 , N A = 6,022.10 23 mol −1 ).
Réponse :
Dans le titane adoptant une structure hexagonale compacte, le volume de la maille est :
V =
4
√
3
ca 2 .
] La masse volumique d’une structure hexagonale en fonction de a et c est :
ρ =
4
√
3
M Ti
N A ca 2 .
En écrivant a et c en fonction de r Ti et en simplifiant, on obtient :
ρ (Ti) =
M Ti
4
√
2.N A r 3
(Ti)
.
L’application numérique donne :
ρ (Ti) =
47, 90.10 −3
4
√
2 × 6, 022.10 23 × (147, 0.10 −12 ) 3
= 4426 kg·m −3 .
La valeur calculée à partir du rayon métallique est différente de 2 % environ de la valeur
mesurée car l’empilement dans le cas du titane n’est pas strictement compact. Le rapport
c/a = 1, 5864 montre que cette maille est légèrement déformée (la structure hexagonale
compacte idéale possède un rapport c/a =
8
3
= 1, 633).
Exercice résolu
5 Cristaux covalents
Le carbone existe sous plusieurs formes allotropiques dont deux, le diamant et le graphite,
peuvent être décrites au moyen des assemblages examinés précédemment. Ces assemblages
correspondent à des empilements non compacts.
5.1 Le diamant
Le diamant cristallise dans un réseau cubique dans lequel la longueur de l’arête de la maille
est de 356,7 pm. Les atomes de carbone sont distants les uns aux autres de 154,5 pm ; les
angles
CCC sont de 109˚28’.
La structure de la maille du diamant peut être rapprochée d’une maille cubique faces centrées
possédant un atome de carbone sur chaque nœud du réseau et dans lequel la moitié des sites
tétraédriques de la maille sont occupés par des atomes de carbone (voir figure 6.39) ; les sites
tétraédriques occupés sont positionnés de manière alternée dans la maille (le dessin de droite
340
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Masse volumique à partir de la maille
La masse volumique du titane est de 4509 kg·m −3 . Comparer cette valeur à celle obtenue à
partir du rayon métallique du titane (147,0 pm) en considérant une structure h.c.. La relation
entre les paramètres de maille a et c et le rayon de l’atome dans la structure h.c. est :
c = a
8/3 et a = 2r (atome) (M Ti = 47,90.10 −3 kg·mol −1 , N A = 6,022.10 23 mol −1 ).
Réponse :
Dans le titane adoptant une structure hexagonale compacte, le volume de la maille est :
V =
4
√
3
ca 2 .
] La masse volumique d’une structure hexagonale en fonction de a et c est :
ρ =
4
√
3
M Ti
N A ca 2 .
En écrivant a et c en fonction de r Ti et en simplifiant, on obtient :
ρ (Ti) =
M Ti
4
√
2.N A r 3
(Ti)
.
L’application numérique donne :
ρ (Ti) =
47, 90.10 −3
4
√
2 × 6, 022.10 23 × (147, 0.10 −12 ) 3
= 4426 kg·m −3 .
La valeur calculée à partir du rayon métallique est différente de 2 % environ de la valeur
mesurée car l’empilement dans le cas du titane n’est pas strictement compact. Le rapport
c/a = 1, 5864 montre que cette maille est légèrement déformée (la structure hexagonale
compacte idéale possède un rapport c/a =
8
3
= 1, 633).
Exercice résolu
5 Cristaux covalents
Le carbone existe sous plusieurs formes allotropiques dont deux, le diamant et le graphite,
peuvent être décrites au moyen des assemblages examinés précédemment. Ces assemblages
correspondent à des empilements non compacts.
5.1 Le diamant
Le diamant cristallise dans un réseau cubique dans lequel la longueur de l’arête de la maille
est de 356,7 pm. Les atomes de carbone sont distants les uns aux autres de 154,5 pm ; les
angles
CCC sont de 109˚28’.
La structure de la maille du diamant peut être rapprochée d’une maille cubique faces centrées
possédant un atome de carbone sur chaque nœud du réseau et dans lequel la moitié des sites
tétraédriques de la maille sont occupés par des atomes de carbone (voir figure 6.39) ; les sites
tétraédriques occupés sont positionnés de manière alternée dans la maille (le dessin de droite
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