du numérateur augmenté de trois unités. On peut donc
conclure en affirmant que l’ordre de H m ( p) est au moins 3.
Si pour les systèmes d’ordre 1 et 2 la stabilité est acquise, un
système d’ordre 3 présente un risque potentiel d’instabilité.
• L’instabilité du système se traduirait par un comportement tel
que le manipulateur ne contrôlerait plus la position de l’objet manipulé. L’opérateur devenant immobile, l’objet continuerait à évoluer. Il y aurait une divergence de la sortie pour
une entrée restant dans un interval fermé borné.
• Certaines des informations fournies permettent d’affirmer que
le réglage proposé assure la stabilité de H m ( p) :
– la réponse indicielle du système en boucle fermée de fonction de transfert H m ( p) converge ;
– le diagramme de Black de la FTBO du système H 0 ( jω) vérifie le critère du revers. Le parcourt du lieu de BLACK dans
le sens des pulsations croissantes laisse le point critique
(−180 ◦ , 0 dB) sur la droite.
6. Un examen du diagramme de Bode du gain de H m ( jω) permet de conclure que le gain statique de cette fonction de transfert est d’environ – 14,8 dB. La pulsation ω 3 dB est donc la pulsation telle que
20 log (|H m ( jω 3 dB )|) = −17,8 .
Une lecture sur la figure 4.61 conduit à une pulsation
ω 3 dB = 17 rad/s environ (log(ω 3 dB ) = 2,23). La fréquence
de coupure à – 3 dB est donc
f 3d B =
ω 3 dB
2π
Après calcul, on trouve f 3 dB = 27Hz. Cette fréquence est supérieure à la limite minimale imposée de 20 Hz. Le critère de
bande passante motrice est satisfait.
7.
• L’entrée du système est de la forme c op (t) = A 1 sin (ωt) .
Pour cette entrée, la sortie du système est de la forme
q v (t) = B 1 sin (ωt + ϕ) ou encore
q v (t) = B 1 sin (ω(t − T )) si le retard de la sortie par rapport à l’entrée est noté T.
Le retard est alors donné par la relation T =
−ϕ
ω .
Pour f = 5 Hz, c’est-à-dire pour ω = 2π f = 31,4 rad/s, le
diagramme de Bode en phase de H m ( jω) donne ϕ = −2 ◦ .Le
retard est donc
T = 2
π
180
1
2π f
AN : T ≈ 10
−3 s
• Une fréquence de f = 5 Hz correspond à une pulsation de
ω 5 = 31,4 rad/s. Les diagrammes de Bode fournis permettent de relever pour cette pulsation
20 log (|H m ( jω 5 )|)
= −14 dB
20 log (|H bras ( jω 5 )|) = −13,7 dB
On a donc
20 log
Q v
Q 1
= 20 log
Q v
C op
− 20 log
Q 1
C op
= −14 dB + 13,7 dB
= −0,3 dB
Finalement, le rapport de l’amplitude du signal visuel sur l’amplitude du mouvement de l’opérateur est
Q − v
Q 1
= 0,97
• Compte tenu de ces résultats, les mouvements de l’opérateur
sont répercutés sur le système virtuel en vraie grandeur (à 3 %
près) et quasiment en temps réel (seulement 1 millième de
seconde de retard).
Si la fréquence des signaux augmente, le retard augmente.
Par contre, comme le montrent les résultats du tableau suivant, le rapport de l’amplitude du signal visuel sur l’amplitude du mouvement de l’opérateur est quasiment constant pour
des pulsations allant de 10 rad/s à 50 rad/s, compte tenu de
l’imprécision de lecture sur les diagrammes.
167
ω (rad/s)
20 log (|H m |)
20 log (|H bras |)
20 log
Q v
Q 1
Q v
Q 1
10
– 14,9
– 14,6
– 0.3
0.97
20
– 14,6
– 14,3
– 0.3
0.97
30
– 14,0
– 13,7
– 0.3
0.97
40
– 13,4
– 13,1
– 0.3
0.97
50
– 12,7
– 12,4
– 0.3
0.97
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conclure en affirmant que l’ordre de H m ( p) est au moins 3.
Si pour les systèmes d’ordre 1 et 2 la stabilité est acquise, un
système d’ordre 3 présente un risque potentiel d’instabilité.
• L’instabilité du système se traduirait par un comportement tel
que le manipulateur ne contrôlerait plus la position de l’objet manipulé. L’opérateur devenant immobile, l’objet continuerait à évoluer. Il y aurait une divergence de la sortie pour
une entrée restant dans un interval fermé borné.
• Certaines des informations fournies permettent d’affirmer que
le réglage proposé assure la stabilité de H m ( p) :
– la réponse indicielle du système en boucle fermée de fonction de transfert H m ( p) converge ;
– le diagramme de Black de la FTBO du système H 0 ( jω) vérifie le critère du revers. Le parcourt du lieu de BLACK dans
le sens des pulsations croissantes laisse le point critique
(−180 ◦ , 0 dB) sur la droite.
6. Un examen du diagramme de Bode du gain de H m ( jω) permet de conclure que le gain statique de cette fonction de transfert est d’environ – 14,8 dB. La pulsation ω 3 dB est donc la pulsation telle que
20 log (|H m ( jω 3 dB )|) = −17,8 .
Une lecture sur la figure 4.61 conduit à une pulsation
ω 3 dB = 17 rad/s environ (log(ω 3 dB ) = 2,23). La fréquence
de coupure à – 3 dB est donc
f 3d B =
ω 3 dB
2π
Après calcul, on trouve f 3 dB = 27Hz. Cette fréquence est supérieure à la limite minimale imposée de 20 Hz. Le critère de
bande passante motrice est satisfait.
7.
• L’entrée du système est de la forme c op (t) = A 1 sin (ωt) .
Pour cette entrée, la sortie du système est de la forme
q v (t) = B 1 sin (ωt + ϕ) ou encore
q v (t) = B 1 sin (ω(t − T )) si le retard de la sortie par rapport à l’entrée est noté T.
Le retard est alors donné par la relation T =
−ϕ
ω .
Pour f = 5 Hz, c’est-à-dire pour ω = 2π f = 31,4 rad/s, le
diagramme de Bode en phase de H m ( jω) donne ϕ = −2 ◦ .Le
retard est donc
T = 2
π
180
1
2π f
AN : T ≈ 10
−3 s
• Une fréquence de f = 5 Hz correspond à une pulsation de
ω 5 = 31,4 rad/s. Les diagrammes de Bode fournis permettent de relever pour cette pulsation
20 log (|H m ( jω 5 )|)
= −14 dB
20 log (|H bras ( jω 5 )|) = −13,7 dB
On a donc
20 log
Q v
Q 1
= 20 log
Q v
C op
− 20 log
Q 1
C op
= −14 dB + 13,7 dB
= −0,3 dB
Finalement, le rapport de l’amplitude du signal visuel sur l’amplitude du mouvement de l’opérateur est
Q − v
Q 1
= 0,97
• Compte tenu de ces résultats, les mouvements de l’opérateur
sont répercutés sur le système virtuel en vraie grandeur (à 3 %
près) et quasiment en temps réel (seulement 1 millième de
seconde de retard).
Si la fréquence des signaux augmente, le retard augmente.
Par contre, comme le montrent les résultats du tableau suivant, le rapport de l’amplitude du signal visuel sur l’amplitude du mouvement de l’opérateur est quasiment constant pour
des pulsations allant de 10 rad/s à 50 rad/s, compte tenu de
l’imprécision de lecture sur les diagrammes.
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ω (rad/s)
20 log (|H m |)
20 log (|H bras |)
20 log
Q v
Q 1
Q v
Q 1
10
– 14,9
– 14,6
– 0.3
0.97
20
– 14,6
– 14,3
– 0.3
0.97
30
– 14,0
– 13,7
– 0.3
0.97
40
– 13,4
– 13,1
– 0.3
0.97
50
– 12,7
– 12,4
– 0.3
0.97
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