SAVOIRS
La coquille
du conus textile
présente des motifs
complexes
qui sont similaires
à certains
automates
cellulaires.
Références
• Les algorithmes.
Bibliothèque
Tangente 37 , 20 13.
• Th éorie des jeux.
Bibliothèque
Tan gente 46 , 20 13.
• Wh eels . life and
other mathematical
amusements. Martin
Gardner, Freeman ,
1983.
Les automates cellulaires
Le jeu de la vie, comme tou s les automates cellul aires, est un jeu entièrement
détermini ste . Une population de dé part
constituée d'êtres monocellulaires (les
cellules) , va vivre, donner nai ssance à
de nouve lles cellules vivantes et parfois
mourir se lon des règ les intang ibles. En
quoi s'ag it-il alors d ' un je u ? La seule
intervention du joueur consiste à créer
( ' univers de ce jeu : la grille destinée à
recevo ir les cellules, les règ les de vie,
de nai ssance et de mort de ces cellules,
puis à placer dans cet univers des population s et à observer le ur deve nir, en
n ' ayant plus aucune pri se sur ce devenir. On peut égale ment procéder à une
a nal yse ré trograde et recherche r les
configurations « parentes » (les antécédents) d ' une configuration donnée , certaines configurations n'ayant d ' ailleurs
pas d ' antécéde nt (on appelle ces populations des « edens »).
Les règles du jeu de la uie
Le jeu de la vie fonctionne sur un quadrillage régulier formé de carrés unitaires (ou cellules) pavant le pl an. On
pourrait tout auss i bien le générali ser à
un plan pavé de triangles ou d ' hexagones
réguliers, ou encore dans un pavage de
l' espace à trois dimensions, mai s sa version originelle offre déj à un vaste terrain d 'ex ploration et d ' amusement. Des
créatures vont vivre et mourir dans ces
cellules. Le temps dans lequel elles vivent
n ' est pas le nôtre: il s' agit d'un temps
discret , qui s' écoule en « étapes » success ives. On passe de l' in stant O à l'instant 1, pui s à l' in stant 2 , et ceci sans
aucune tran sition . Le quadrill age est
constitué de cellules qui pe uvent être
habitées, ou non , par des êtres vivants ,
à raison d ' au plus un par cellule. Une
cellule habitée est dite vivante (sur les diagrammes, elle est coloriée), et une cellule vide est morte (elle n'est pas coloriée).
Chaque cellule est entourée par huit celI ul es voisines, deux cellules voisines
aya nt un côté ou un sommet en commun. Si, à l' instant n , une cellule est
vivante, alors e ll e le reste à l' in sta nt
n + 1 si, et seule ment si, deux ou troi s
des cellules voisines sont vivantes. Dans
tous les autres cas, la cellule meurt à
l' instant suivant. Si , à l' instant n , une
cellule est n'est pas vivante , elle s' anime
(ou elle naît) à l'i nstant n + 1 si,et seulement si, exactement troi s des cel Iules
voisines sont vivantes. Dans les autres cas ,
la cellule demeure vide. En particulier,
une cellule isolée ne pe ut survi vre. Une
population de départ constituée d 'êtres
monocellulaires va vivre (et parfois mourir) se lon ces règ les intang ibl es . Les
morts et les na issances se produi se nt
simultané ment , et , juste avant de mourir, une cellule pe ut participer à la naissance d ' une autre.
L'étude du jeu de la vie de Conway pe ut
conduire à de multiples questions, parfois difficiles: trouver des edens ; trouver des populations de période 2 ( comme
le pulsar, voir encadré), de période 3 , de
période 4, etc. ; explorer d ' autres règles
de survie, de mort et de naissance des celI u les; ex plorer d ' autres type de pavage
du plan : triangul aire, hexagonal.
Vou s allez le constater, la ri chesse et la
co mpl ex ité des automates ce llul ai res
va le nt bien cell es de la vie e lle-même !
M.C.
Ta.ngent:e Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
La coquille
du conus textile
présente des motifs
complexes
qui sont similaires
à certains
automates
cellulaires.
Références
• Les algorithmes.
Bibliothèque
Tangente 37 , 20 13.
• Th éorie des jeux.
Bibliothèque
Tan gente 46 , 20 13.
• Wh eels . life and
other mathematical
amusements. Martin
Gardner, Freeman ,
1983.
Les automates cellulaires
Le jeu de la vie, comme tou s les automates cellul aires, est un jeu entièrement
détermini ste . Une population de dé part
constituée d'êtres monocellulaires (les
cellules) , va vivre, donner nai ssance à
de nouve lles cellules vivantes et parfois
mourir se lon des règ les intang ibles. En
quoi s'ag it-il alors d ' un je u ? La seule
intervention du joueur consiste à créer
( ' univers de ce jeu : la grille destinée à
recevo ir les cellules, les règ les de vie,
de nai ssance et de mort de ces cellules,
puis à placer dans cet univers des population s et à observer le ur deve nir, en
n ' ayant plus aucune pri se sur ce devenir. On peut égale ment procéder à une
a nal yse ré trograde et recherche r les
configurations « parentes » (les antécédents) d ' une configuration donnée , certaines configurations n'ayant d ' ailleurs
pas d ' antécéde nt (on appelle ces populations des « edens »).
Les règles du jeu de la uie
Le jeu de la vie fonctionne sur un quadrillage régulier formé de carrés unitaires (ou cellules) pavant le pl an. On
pourrait tout auss i bien le générali ser à
un plan pavé de triangles ou d ' hexagones
réguliers, ou encore dans un pavage de
l' espace à trois dimensions, mai s sa version originelle offre déj à un vaste terrain d 'ex ploration et d ' amusement. Des
créatures vont vivre et mourir dans ces
cellules. Le temps dans lequel elles vivent
n ' est pas le nôtre: il s' agit d'un temps
discret , qui s' écoule en « étapes » success ives. On passe de l' in stant O à l'instant 1, pui s à l' in stant 2 , et ceci sans
aucune tran sition . Le quadrill age est
constitué de cellules qui pe uvent être
habitées, ou non , par des êtres vivants ,
à raison d ' au plus un par cellule. Une
cellule habitée est dite vivante (sur les diagrammes, elle est coloriée), et une cellule vide est morte (elle n'est pas coloriée).
Chaque cellule est entourée par huit celI ul es voisines, deux cellules voisines
aya nt un côté ou un sommet en commun. Si, à l' instant n , une cellule est
vivante, alors e ll e le reste à l' in sta nt
n + 1 si, et seule ment si, deux ou troi s
des cellules voisines sont vivantes. Dans
tous les autres cas, la cellule meurt à
l' instant suivant. Si , à l' instant n , une
cellule est n'est pas vivante , elle s' anime
(ou elle naît) à l'i nstant n + 1 si,et seulement si, exactement troi s des cel Iules
voisines sont vivantes. Dans les autres cas ,
la cellule demeure vide. En particulier,
une cellule isolée ne pe ut survi vre. Une
population de départ constituée d 'êtres
monocellulaires va vivre (et parfois mourir) se lon ces règ les intang ibl es . Les
morts et les na issances se produi se nt
simultané ment , et , juste avant de mourir, une cellule pe ut participer à la naissance d ' une autre.
L'étude du jeu de la vie de Conway pe ut
conduire à de multiples questions, parfois difficiles: trouver des edens ; trouver des populations de période 2 ( comme
le pulsar, voir encadré), de période 3 , de
période 4, etc. ; explorer d ' autres règles
de survie, de mort et de naissance des celI u les; ex plorer d ' autres type de pavage
du plan : triangul aire, hexagonal.
Vou s allez le constater, la ri chesse et la
co mpl ex ité des automates ce llul ai res
va le nt bien cell es de la vie e lle-même !
M.C.
Ta.ngent:e Hors-série n°52. Mathématiques & informatique