Chapitre I. Nombres réels
une inégalité du type (1). Si on répète cette procédure au plus n−1 fois, on obtient une suite constante dont tous les termes sont égaux à A n . L’inégalité (1)
implique alors
n
k=1
1 + a k
1 − a k
n
k=1
1 + A n
1 − A n
=
n + 1
n − 1
n
.
I.2.46. On pose a k 1 = max {a 1 , a 2 , . . . , a n }. Il existe une fraction dans le
membre de gauche de l’inégalité dont le numérateur est égal à a k 1 . Le dénominateur de cette fraction a deux termes. On note le plus grand a k 2 . On considère
alors la fraction de numérateur a k 2 et on appelle a k 3 le plus grand des termes
de son dénominateur, etc. On remarque que
a k i
a k i+1 + a k i+2
a k i
2a k i+1
, i = 1, 2, . . .
(1)
La construction précédente implique qu’il existe un l tel que a k l+1 = a k 1 . On
observe ensuite que les nombres a k i et a k i+1 apparaissent dans notre inégalité
comme numérateurs soit de deux fractions consécutives, soit de deux fractions
séparées par un seul terme (on considère ici que la première et la dernière fractions sont voisines). De plus, a k i+1 apparaît comme numérateur d’une fraction
se trouvant à droite de celle ayant a k i pour numérateur. Pour passer de la
fraction de numérateur a k 1 à la fraction de numérateur a k l+1 , il faut l étapes
et l
n
2 . Donc, d’après (1) et l’inégalité en les moyennes arithmétique et
géométrique, on a
a k 1
2a k 2
+
a k 2
2a k 3
+ . . . +
a k l
2a k 1
l
l
1
2 l
n
4
.
I.2.47. On a
n
k=1
|a k − t|
2 k
1
2 2 +
1
2 3 + . . . +
1
2 n
|a 1 − t| +
|a 2 − t|
2 2
+ . . . +
|a n − t|
2 n
1
2 2
|a 1 − t| +
|a 2 − t|
+
1
2 3
|a 1 − t| +
|a 3 − t|
+ . . . +
1
2 n
|a 1 − t| +
|a n − t|
,
ce qui implique l’inégalité demandée.
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