Chapitre III. Séries de nombres réels
Donc, d’après II.1.41,
lim
n→+∞
T n(α+β)
= lim
n→+∞
f (2nα) − ln(2nα) −
1
2
f (nα) +
1
2
ln(nα) −
1
2
f (nβ) +
1
2
ln(nβ)
+ lim
n→+∞
ln(2nα) −
1
2
(ln(nα) + ln(nβ))
= lim
n→+∞
ln
2nα
n 2 αβ
= ln 2 +
1
2
ln
α
β
.
III.7.4. Ce résultat est un cas particulier (α = 1 et β = 4) du problème
précédent.
III.7.5. Il suffit d’appliquer le résultat du problème III.7.3 en prenant
α = 4 et β = 1.
III.7.6. On considère la série
1 −
1
2
+
1
3
+
1
5
−
1
4
+
1
7
+
1
9
+
1
11
−
1
6
+ . . .
(1)
obtenue en réarrangeant les termes de
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
de sorte que n (n ∈ N ∗ )
termes positifs soient suivis d’un terme négatif. En regroupant les termes de
la série (1) comme suit
1 −
1
2
+
1
3
+
1
5
−
1
4
+
1
7
+
1
9
+
1
11
−
1
6
+ . . . ,
on obtient
+∞
n=1
1
n 2 − n + 1
+
1
n 2 − n + 3
+ . . . +
1
n 2 + n − 1
−
1
2n
.
(2)
On note respectivement S n et T n les n-ièmes sommes partielles des séries (1)
et (2). On a alors
T n = S (n+1)n
2
+n
>
n
k=1
k
k 2 + k − 1
−
1
2k
>
1
4
n
k=1
1
k
− −−−− →
n→+∞
+∞.
III.7.7. On réécrit la série en regroupant les termes sous la forme
+∞
n=1
1
√ 4n − 3
+
1
√ 4n − 1
−
1
√
2n
.
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