Chapitre III. Séries de nombres réels
III.6.15. On suppose que la série
+∞
n=0
a n b n converge. D’après le résultat du
problème III.6.13, il suffit de prouver que
lim
n→+∞
a n (b 0 + b 1 + . . . + b n ) = 0 et
lim
n→+∞
b n (a 0 + a 1 + . . . + a n ) = 0.
Soit ε > 0. Il existe k 0 ∈ N ∗ tel que a k 0 +1 b k 0 +1 + a k 0 +2 b k 0 +2 + . . . <
ε
2 . Donc,
pour k > k 0 , on a
a n (b 0 + . . . + b n ) < a n (b 0 + . . . + b k 0 ) +
ε
2
.
D’autre part, puisque lim
n→+∞
a n = 0, il existe n 1 > k 0 tel que
a n <
ε
2(b 0 + . . . + b k 0 )
si n > n 1 ,
ce qui implique a n (b 0 + . . . + b n ) < ε pour n > n 1 . On a donc prouvé que
lim
n→+∞
a n (b 0 + . . . + b n ) = 0.
On suppose maintenant que le produit de Cauchy est convergent. Il s’ensuit,
d’après III.6.13, que lim
n→+∞
a n (b 0 + . . . + b n ) = 0. D’où, pour n suffisamment
grand,
(n + 1)a n b n < a n (b 0 + . . . + b n ) < 1
et
(a n b n )
1+α <
1
n + 1
1+α
.
III.7. Réarrangement de séries. Séries doubles
III.7.1. Soit S n = a 1 + a 2 + . . . + a n la n-ième somme partielle de
+∞
n=1
a n .
On a
b 1 + b 2 + . . . + b n = S mn pour n 1.
Puisque toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite,
lim
n→+∞
S mn = lim
n→+∞
S n .
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