Solutions
I.1.11.
(a) sup
x ∈ R : x 2 + x + 1 > 0
= +∞,
(b) inf
z = x + x −1 : x > 0
= 2,
(c) inf
z = 2 x + 2
1
x : x > 0
= 4.
Les deux premières égalités se vérifient facilement. Pour prouver la troisième,
on remarque que
a+b
2
√
ab pour a, b > 0. Donc,
2 x + 2
1
x
2
2
1
x
+x
√ 2 2 = 2
avec égalité si et seulement si x = 1. La proposition (c) est donc démontrée.
I.1.12.
(a) On obtient, en utilisant l’inégalité
a+b
2
√
ab pour a, b > 0,
m
n
+
4n
m
4
avec égalité si et seulement si m = 2n. Donc, inf A = 4. On voit, en
prenant m = 1, que l’ensemble A n’est pas majoré. Ceci signifie que
sup A = +∞.
(b) De même, on a
−
1
4
mn
4m 2 + n 2
1
4
,
avec égalité si et seulement si respectivement m = −2n et m = 2n. Donc,
inf B = −
1
4 et sup B =
1
4 .
(c) On a inf C = 0 et sup C = 1. En effet, 0 <
m
m+n < 1 et, pour tout ε > 0,
il existe des entiers strictement positifs n 1 et m 1 tels que
1
n 1 + 1
< ε et
m 1
m 1 + 1
> 1 − ε.
(d) inf D = −1 et sup D = 1.
(e) On peut prendre m = n pour voir que l’ensemble n’est pas majoré. Donc,
sup E = +∞. D’autre part, pour tout m, n ∈ N ∗ , on a
mn
1+m+n
1
3 avec
égalité si et seulement si m = n = 1. Donc inf E =
1
3 .
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