Solutions
Supposons maintenant que A et B sont des ensembles bornés de réels (positifs ou négatifs) et posons a = sup A, b = sup B et a = inf A, b = inf B. Si
a et b sont positifs, l’égalité demandée se déduit de ce qui précède. Si a < 0
et a, b > 0, alors xy ab pour tout x ∈ A et y ∈ B. On prend ε > 0 suffisamment petit pour que a − ε > 0. Il existe alors un réel x ∗ ∈ A strictement
positif tel que x ∗ > a − ε. Il existe aussi y ∗ ∈ B tel que y ∗ > b − ε. Donc,
x
∗ y
∗ > x
∗
(b − ε) > (a − ε)(b − ε) = ab − ε(a + b + −ε).
Dans ce cas, on a alors sup (A · B) = ab.
On considère maintenant le cas a , b < 0 et a, b > 0. Pour tout x ∈ A et
y ∈ B, on a
xy max
ab, a
b
.
Supposons d’abord que max {ab, a b } = a b . Par définition de la borne supérieure, pour ε > 0 suffisamment petit, il existe x ∗ ∈ A et y ∗ ∈ B tels que
x ∗ < a + ε < 0 et y ∗ < b + ε < 0. Ceci donne
x
∗ y
∗ > x
∗
(b
+ ε) > (a
+ ε)(b
+ ε) = a
b
+ ε(a
+ b
+ ε).
On note que a +b +ε est strictement négatif. Donc a b est la borne supérieure
de A · B. Dans le cas où max {ab, a b } = ab, un raisonnement semblable donne
sup (A · B) = ab. Tous les autres cas se traitent de la même façon.
I.1.5. On suppose d’abord que A et B sont majorés. On pose a = sup A
et b = sup B. On peut bien sûr supposer que a b. On a alors, pour tout
x ∈ A ∪ B, x b. De plus, pour tout ε > 0, il existe x ∗ ∈ B tel que x ∗ > b − ε.
Il est évident que x ∗ appartient à A ∪ B. La première égalité est donc vérifiée. Si A ou B n’est pas majoré, alors A ∪ B ne l’est pas non plus. Donc,
sup (A ∪ B) = +∞ et max {+∞, c} = max {+∞, +∞} = +∞. La seconde
égalité se démontre de la même manière.
I.1.6. On a
A 1 =
−3, −
11
2
, 5
∪
3
4k
, −
3
4k + 1
, −4 −
3
4k + 2
, 4 +
3
4k + 3
: k ∈ N
∗
,
A 2 =
3k − 1
3k + 1
, −
3k − 2
6k
, −
3k − 3
2(3k − 1)
: k ∈ N
∗
.
Donc, inf A 1 = −
11
2 , sup A 1 = 5 et inf A 2 = −
1
2 , sup A 2 = 1.
I.1.7. sup A =
2
9 , inf A = 0,2, sup B =
1
9 , inf B = 0.
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Supposons maintenant que A et B sont des ensembles bornés de réels (positifs ou négatifs) et posons a = sup A, b = sup B et a = inf A, b = inf B. Si
a et b sont positifs, l’égalité demandée se déduit de ce qui précède. Si a < 0
et a, b > 0, alors xy ab pour tout x ∈ A et y ∈ B. On prend ε > 0 suffisamment petit pour que a − ε > 0. Il existe alors un réel x ∗ ∈ A strictement
positif tel que x ∗ > a − ε. Il existe aussi y ∗ ∈ B tel que y ∗ > b − ε. Donc,
x
∗ y
∗ > x
∗
(b − ε) > (a − ε)(b − ε) = ab − ε(a + b + −ε).
Dans ce cas, on a alors sup (A · B) = ab.
On considère maintenant le cas a , b < 0 et a, b > 0. Pour tout x ∈ A et
y ∈ B, on a
xy max
ab, a
b
.
Supposons d’abord que max {ab, a b } = a b . Par définition de la borne supérieure, pour ε > 0 suffisamment petit, il existe x ∗ ∈ A et y ∗ ∈ B tels que
x ∗ < a + ε < 0 et y ∗ < b + ε < 0. Ceci donne
x
∗ y
∗ > x
∗
(b
+ ε) > (a
+ ε)(b
+ ε) = a
b
+ ε(a
+ b
+ ε).
On note que a +b +ε est strictement négatif. Donc a b est la borne supérieure
de A · B. Dans le cas où max {ab, a b } = ab, un raisonnement semblable donne
sup (A · B) = ab. Tous les autres cas se traitent de la même façon.
I.1.5. On suppose d’abord que A et B sont majorés. On pose a = sup A
et b = sup B. On peut bien sûr supposer que a b. On a alors, pour tout
x ∈ A ∪ B, x b. De plus, pour tout ε > 0, il existe x ∗ ∈ B tel que x ∗ > b − ε.
Il est évident que x ∗ appartient à A ∪ B. La première égalité est donc vérifiée. Si A ou B n’est pas majoré, alors A ∪ B ne l’est pas non plus. Donc,
sup (A ∪ B) = +∞ et max {+∞, c} = max {+∞, +∞} = +∞. La seconde
égalité se démontre de la même manière.
I.1.6. On a
A 1 =
−3, −
11
2
, 5
∪
3
4k
, −
3
4k + 1
, −4 −
3
4k + 2
, 4 +
3
4k + 3
: k ∈ N
∗
,
A 2 =
3k − 1
3k + 1
, −
3k − 2
6k
, −
3k − 3
2(3k − 1)
: k ∈ N
∗
.
Donc, inf A 1 = −
11
2 , sup A 1 = 5 et inf A 2 = −
1
2 , sup A 2 = 1.
I.1.7. sup A =
2
9 , inf A = 0,2, sup B =
1
9 , inf B = 0.
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