Chapitre III. Séries de nombres réels
III.1.27. Puisque
S 2n =
2n
k=1
1
k 2 =
n
k=1
1
(2k)
2 +
n
k=1
1
(2k − 1)
2
et lim
n→+∞
S 2n+1 = lim
n→+∞
S 2n , on obtient
+∞
n=1
1
n 2 =
+∞
n=1
1
(2n − 1)
2 +
1
2 2
+∞
n=1
1
n 2 .
III.1.28. On présente une démonstration élémentaire de ces identités bien
connues en suivant A.M. Yaglom et I.M. Yaglom, Uspehi Matem. Nauk (N.S.)
8 (1953) no. 5(57), pp. 181-187 (en russe).
(a) Pour 0 < x <
π
2 , on a les inégalités sin x < x < tan x. Donc,
cotan 2 x <
1
x 2 < 1 + cotan 2 x. En prenant x =
kπ
2m+1 (k = 1, 2, . . . , m) et
en additionnant ces inégalités pour k variant de 1 à m, on obtient
m
k=1
cotan
2
kπ
2m + 1
<
(2m + 1)
2
π 2
m
k=1
1
k 2 < m +
m
k=1
cotan
2
kπ
2m + 1
. (i)
On montre maintenant que
m
k=1
cotan
2
kπ
2m + 1
=
m(2m − 1)
3
.
(ii)
Soit 0 < t <
π
2 . D’après la formule de Moivre, on a
cos nt + i sin nt = (cos t + i sin t)
n
= sin
n t (cotan t + i)
n
= sin
n t
n
k=0
n
k
i
k
cotan
n−k t.
En prenant n = 2m + 1 et considérant les parties imaginaires, on obtient
sin(2m + 1)t = sin
2m+1 t P m
cotan
2 t
,
(iii)
où
P m (x) =
2m + 1
1
x
m
−
2m + 1
3
x
m−1
+ . . . ± 1.
(iv)
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