Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.86. On peut montrer que si {x n } est une suite strictement positive
convergente vers 0, alors
(1 + x n )
1
p − 1
1
p x n
− −−−− →
n→+∞
1.
(∗)
On pose
c k,n =
k q−1
n q ,
k = 1, 2, . . . , n.
On a alors c k,n max
1
n ,
1
n q
et {c k,n } converge donc vers 0, uniformément
par rapport à k. En posant a k,n = (1 + c k,n )
1
p −1 et b k,n =
1
p c k,n et en utilisant
II.5.82, on obtient
lim
n→+∞
n
k=1
1 +
k q−1
n q
1
p − 1
=
1
p
lim
n→+∞
n
k=1
k q−1
n q .
D’après le théorème de Stolz (voir II.3.11),
lim
n→+∞
n
k=1
k q−1
n q = lim
n→+∞
n q−1
n q − (n − 1)
q = lim
n→+∞
n q−1
n q − n q
1 −
1
n
q
= lim
n→+∞
n q−1
n q − n q
1 − q
1
n +
q(q−1)
2
1
n 2 − . . .
=
1
q
.
II.5.87. On pose a n =
a(a+d)···(a+nd)
b(b+d)···(b+nd) . On a alors
a n =
a
b
1 +
d
a
· · ·
1 + n
d
a
1 +
d
a +
b
a − 1
1 + 2
d
a +
b
a − 1
· · ·
1 + n
d
a +
b
a − 1
.
On pose x =
b
a − 1. On a x > 0 et
a n =
a
b
1
1 +
x
1+
d
a
1 +
x
1+2
d
a
· · ·
1 +
x
1+n
d
a
.
Puisque
x
1 +
d
a
+ . . . +
x
1 + n
d
a
<
1 +
x
1 +
d
a
· · ·
1 +
x
1 + n
d
a
,
on obtient
a n <
a
bx
x
1+
d
a
+
x
1+2
d
a
+ . . . +
x
1+n
d
a
.
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