Chapitre II. Suites de nombres réels
Il découle de (1) et du résultat du problème précédent que la limite est supérieure ou égale à e
−
1
18 . On montre maintenant que
lim
n→+∞
n
k=1
1 −
k 2
6n 3 +
k 4
5!n 6
e
−
1
18 .
En effet,
ln
n
k=1
1 −
k 2
6n 3 +
k 4
5!n 6
<
n
k=1
−
k 2
6n 3 +
k 4
5!n 6
= −
n(n + 1)(2n + 1)
36n 3
+
n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1)
30 × 5!n 6
.
Finalement, d’après (2) et le théorème des gendarmes,
lim
n→+∞
√
n 3n
n!
n
k=1
sin
k
n
√
n
= e
−
1
18 .
II.5.57. On prouve d’abord que a n =
n+1
2n a n−1 + 1, n 2. On a
a n =
n
k=0
1
n
k
=
n−1
k=0
k!(n − 1 − k)!(n − k)
(n − 1)!n
+ 1
=
n−1
k=0
1
n−1
k
−
n−1
k=0
k
n
(n − 1 − k)!k!
(n − 1)!
+ 1
= a n−1 −
n−1
k=0
k
n
1
n−1
k
+ 1.
(∗)
De plus,
n−1
k=0
k
n
1
n−1
k
=
n−1
k=0
n − 1 − k
n
1
n−1
k
=
n − 1
n
a n−1 −
n−1
k=0
k
n
1
n−1
k
.
On en déduit que
n−1
k=0
k
n
1
n−1
k
=
n − 1
2n
a n−1 .
Finalement, d’après (∗), a n = a n−1 −
n−1
2n a n−1 + 1 =
n+1
2n a n−1 + 1, ce qui
démontre notre première proposition. On en déduit que lim
n→+∞
a n = 2.
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