Chapitre II. Suites de nombres réels
et lim
n→+∞
a n = −a 1 si a 1 0. Si maintenant a 1 ∈ ]0 , 2[, alors a 2 ∈ [0 , 1[
et on voit par récurrence que a n+1 ∈
0 ,
1
2 n−1
, ce qui implique dans ce cas
lim
n→+∞
a n = 0. Enfin, si a 1 2, alors a 2 = a 1 − 1 1. On a par récurrence
a n+1 = a n −
1
2 n−1 et, en conséquence, comme dans le premier cas, on montre
que lim
n→+∞
a n = a 1 − 2.
II.5.53.
(a) On a
n−1
j=1
ja j
n − j
=
a
n − 1
+
2a 2
n − 2
+
3a 3
n − 3
+ . . . +
(n − 1)a n−1
1
=
1
n − 1
a
1
+
2(n − 1)a 2
n − 2
+
3(n − 1)a 3
n − 3
+ . . . +
(n − 1) 2 a n−1
1
.
Puisque
j
n − 1
n − j
= j
n − j
n − j
+
j − 1
n − j
j(1 + j − 1) = j
2 ,
on obtient
n−1
j=1
ja j
n − j
a + 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + . . . + (n − 1) 2 a n−1
n − 1
.
Il suffit alors de voir que, d’après le résultat du problème II.3.2,
lim
n→+∞
a + 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + . . . + (n − 1) 2 a n−1
n − 1
= 0.
(b) On observe que
na
n
n
j=1
1
ja j =
n
j=1
n
j
a
n−j
=
n−1
k=0
n
n − k
a
k
=
n−1
k=0
a
k
+
n−1
k=0
ka k
n − k
et on applique (a).
(c) On applique (b) avec a =
1
b .
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