Chapitre II. Suites de nombres réels
En gardant n fixé et en faisant tendre m vers +∞, on obtient
e − a n
1
(n + 1)!
n + 2
n + 1
.
Ceci et (ii) impliquent 0 < e − a n <
1
nn! .
II.5.7. On sait (voir II.5.2) que e x = lim
n→+∞
1 +
x
n
n , x ∈ R. Pour x ∈ R
donné, on pose a n =
1 +
x
1! +
x 2
2! + . . . +
x n
n!
. On a alors
a n −
1 +
x
n
n
=
n
k=2
1 −
1 −
1
n
· · ·
1 −
k − 1
n
x k
k!
n
k=2
1 −
1 −
1
n
· · ·
1 −
k − 1
n
|x|
k
k!
.
D’après I.2.1, on a, pour 2 k n,
1 −
1
n
· · ·
1 −
k − 1
n
1 −
k−1
j=1
j
n
= 1 −
k(k − 1)
2n
.
Donc,
a n −
1 +
x
n
n
n
k=2
k(k − 1) |x|
k
2nk!
=
1
2n
n
k=2
|x|
k
(k − 2)!
.
Puisque lim
n→+∞
1
2n
n
k=2
|x|
k
(k−2)! = 0 (ce qui se déduit facilement du théorème de
Stolz, voir II.3.11), on obtient lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
1 +
x
n
n = e x .
II.5.8.
(a) D’après II.1.38,
1
n+1 < ln
1 +
1
n
<
1
n . On obtient donc, pour n > 1,
ln
2n + 1
n
<
1
n
+
1
n + 1
+ . . . +
1
2n
< ln
2n
n − 1
.
Le résultat cherché se déduit alors de la continuité du logarithme et du
théorème des gendarmes.
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